Matematica C3 â Algebra 1 - itis magistri cumacini

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www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 6. Algebra di 1° grado►5. Intervalli sulla retta realeDEFINIZIONE.Dati due numeri reali a e b, con a < b, si chiamano intervalli, i seguenti sottoinsiemi di R( a,b )={x∈R| axb } intervallo limitato aperto, a e b sono esclusi;[ a,b ]={x∈R|a≤x≤b } intervallo limitato chiuso, a e b sono inclusi;[ a,b )={x∈R| a≤xb} intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra, a è incluso, b è escluso;( a,b ]={x∈R| ax≤b} intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra, a è escluso, b è incluso;( a ,∞)={x∈R| xa } intervallo superiormente illimitato aperto, a è escluso;[a ,∞ )={x∈R | x≥a } intervallo superiormente illimitato chiuso, a è incluso;(−∞ , a )={x∈R| xa } intervallo inferiormente illimitato aperto, a è escluso;(−∞ , a ]={x∈R| x≤a } intervallo inferiormente illimitato chiuso, a è escluso.I numeri a e b si chiamano estremi dell’intervallo.I numeri reali possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta: ogni numero realeha per immagine un punto della retta e viceversa ogni punto della retta è immagine di un numero reale. Diconseguenza ognuno degli intervalli sopra definiti ha per immagine una semiretta o un segmento,precisamente gli intervalli limitati corrispondono a segmenti e quelli illimitati a semirette. Vediamo con degliesempi come si rappresentano i diversi tipi di intervalli.Esempi H ={x ∈R | x3} intervallo illimitato inferiormente H =−∞ , 3L’insieme H è rappresentato da tutti i punti della semiretta che precedono il punto immagine del numero 3,esclusa l’origine della semiretta. Nella figura, la semiretta dei punti che appartengono ad H è stata disegnatacon una linea più spessa; per mettere in evidenza che il punto immagine di 3 non appartiene alla semiretta P ={x ∈R | x≥−5 } intervallo illimitato superiormente chiuso a sinistra H =[−5,∞ )Segniamo sulla retta r il punto immagine di -5; l’insieme P è rappresentato dalla semiretta di tutti i punti cheseguono -5, compreso lo stesso -5. Nel disegno, la semiretta dei punti che appartengono a P è stata disegnatacon una linea più spessa, per indicare che il punto -5 appartiene all'intervallo abbiamo messo un pallinopieno sul punto. D={ x∈R |−2 x6} intervallo limitato aperto D=−2, 6Segniamo sulla retta reale i punti immagine degli estremi del segmento, -2 e 6. L'insieme D è rappresentatodal segmento che ha per estremi questi due punti. Nel disegno il segmento è stato disegnato con una linea più T ={ x∈R |−2 x≤6 } intervallo limitato chiuso a destra T =(−2, 6 ] .Rispetto al caso precedente, il segmento che rappresenta l’insieme T è chiuso a destra, ossia è incluso S ={x ∈R |−2≤ x≤6 } intervallo chiuso e limitato S =[2, 6]307
www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 6. Algebra di 1° gradoAltri particolari sottoinsiemi dei numeri reali sono R + ={x ∈R | x0 } semiretta di origine 0 costituita da tutti i numeri positi: R − ={ x∈R |Il punto 0 non appartiene a nessuna delle due semirette; il numero zero non appartiene né a R R=R ∪ R − ∪ {0 } . R 0={x∈R | x≥0} R − 0 ={x∈R| x≤0}né a R −x≤−3 [D] x≤−3x≤2 [D] x≤2−2≤x≤2 [D] −2x23≤x5 [D] 3x≤5197[A] R − −{−1} [B] −1≥x≥0 [C] −1≤x≤0 [D] 0x−1x≤0 [D] 0x≤0[A] x≥1 ; x2 [B] 1≤x2 [C] x≤1e x2 [D] 2≥1308
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