Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 6. Algebra di 1° grado►20. Classificazione dei sistemi rispetto alle soluzioni{ Dato un sistema in forma canonica a xb y=ca 1 xb 1 y=c 1D= ∣aa 1bb 1∣ =a⋅b 1−b⋅a 1 D x = ∣cc 1ricordando che:bb 1∣ =c⋅b 1−b⋅c 1 D y = ∣aa 1cc 1∣ =a⋅c 1−c⋅a 1• Se D≠0 il sistema è determinato, esiste una sola coppia soluzione x= D xD ; y = D yD• Se D=0 si possono verificare due casi:• 1° caso: se D x =0 e D y =0 il sistema è indeterminato, tutte le coppie di numeri reali verificanoentrambe le equazioni, I.S.=R×R ;• 2° caso: se D x ≠0 e D y ≠0 il sistema è impossibile, non esiste alcuna coppia che soddisfaentrambi le equazioni e I.S.=∅Esempi { 2x−3y=14x−3y=2D= ∣24 −3∣ =2⋅−3−3⋅−3=−6−9=−15≠0 il sistema è determinato. { 8x−6y=24x−3y=1D= ∣8 −64 −3∣ =8⋅−3−4⋅−6=−2424=0 il sistema è indeterminato o impossibile.D x = ∣2 −61 −3∣ =2⋅−3−−6⋅1=−66=0 D y= ∣8 24 1∣ =8⋅1−2⋅4=8−8=0Il sistema è indeterminato. { 8x−6y=14x−3y=2D= ∣8 −64 −3∣ =8⋅−3−4⋅−6=−2424=0 il sistema è indeterminato o impossibile.D x = ∣1 −62 −3∣ =1⋅−3−−6⋅2=−312=9 D y= ∣8 14 2∣ =8⋅2−1⋅4=16−4=12Il sistema è impossibile.Osserviamo che se D=0 si ha a⋅b 1 −b⋅a 1 =0 a⋅b 1 =b⋅a 1 a a 1= b b 1. Ciò significa che, se icoefficienti delle incognite della prima equazione sono proporzionali ai coefficienti delle incognite dellaseconda equazione allora il sistema è indeterminato o impossibile.In particolare, se poi D x =0 si ha c⋅b 1 −b⋅c 1 =0 c⋅b 1 =b⋅c 1 c c 1= b b 1. Quindi se anche i termininoti delle due equazioni sono nella stessa proporzione, cioè seSe invece D x ≠0, cioècc 1≠ b b 1il sistema è impossibile.aa 1= b b 1= c c 1il sistema è indeterminato.340