Matematica C3 â Algebra 1 - itis magistri cumacini

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www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra1 – 5. Scomposizioni e frazioniMATEMATICA C3 -ALGEBRA 15. SCOMPOSIZIONI E FRAZIONIWicker Composition photo bby: Cobalt123taken from: http://www.flickr.com/photos/cobalt/394252539/Indice►1. Scomposizione in fattori....................................................................................................................244►2. Raccoglimento totale a fattore comune..............................................................................................244►3. Raccoglimento parziale a fattore comune..........................................................................................247►4. Quadrato di un binomio.....................................................................................................................249►5. Quadrato di un polinomio..................................................................................................................251►6. Cubo di un binomio............................................................................................................................252►7. Differenza di due quadrati..................................................................................................................253►8. Trinomi particolari.............................................................................................................................255►9. Scomposizione con la regola Ruffini.................................................................................................257►10. Somma e differenza di due cubi.......................................................................................................260►11. Scomposizione mediante metodi combinati....................................................................................261►12. Esercizi di ripasso sulla scomposizione in fattori............................................................................264►13. M.C.D. e m.c.m. tra polinomi..........................................................................................................269►14. Frazioni algebriche...........................................................................................................................271►15. Condizioni di esistenza per una frazione algebrica..........................................................................272►16. Semplificazione di una frazione algebrica.......................................................................................273►17. Moltiplicazione di frazioni algebriche.............................................................................................275►18. Potenza di una frazione algebrica....................................................................................................277►19. Divisione di frazioni algebriche.......................................................................................................278►20. Addizione di frazioni algebriche......................................................................................................279►21. Espressioni con le frazioni algebriche.............................................................................................281243
www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra1 – 5. Scomposizioni e frazioni►1. Scomposizione in fattoriScomporre un polinomio in fattori significa scrivere il polinomio come il prodotto di polinomi e monomi chemoltiplicati tra loro danno come risultato il polinomio stesso. Si può paragonare la scomposizione in fattoridi un polinomio alla scomposizione in fattori dei numeri naturali.36 218 36 32 21Il polinomio 3a 3 b 2 −3ab 4 si può scomporre in fattori in questo modo 3a b 2 a−bab , infattieseguendo i prodotti si ottiene 3ab2 a−bab=3ab 2 a 2 ab−ba−b 2 =3ab 2 a 2 −b 2 =3a 3 b 2 −3ab 4 .La scomposizione termina quando non è possibile scomporre ulteriormente i fattori individuati.Come per i numeri la scomposizione in fattori dei polinomi identifica il polinomio in maniera univoca (ameno di multipli).DEFINIZIONE. Un polinomio si dice riducibile (scomponibile) se può essere scritto come prodotto di dueo più polinomi (detti fattori) di grado maggiore di zero. In caso contrario esso si dirà irriducibile.La caratteristica di un polinomio di essere irriducibile dipende dall'insieme numerico al quale appartengono icoefficienti del polinomio; uno stesso polinomio può essere irriducibile nell'insieme dei numeri razionali mariducibile in quello dei numeri reali o ancora in quello dei complessi.Dalla definizione consegue che un polinomio di primo grado è irriducibile.DEFINIZIONE. La scomposizione in fattori di un polinomio è la sua scrittura come prodotto di fattoriirriducibili.1 Associa le espressioni a sinistra con i polinomi a destra:a2b 2 2 a 2 −4a b3a b−6b 23ab 2 a 2 −b a 2 4 a b4 b 22 a3ba−2b 9 a 2 −b 23a−b3ab 3 a 3 b 2 −3 a b 3ab 3a 2 b 2 c 2 2ab2bc2acabc 2 a 3 3a 2 b3ab 2 b 3►2. Raccoglimento totale a fattore comuneQuesto è il primo metodo che si deve cercare di utilizzare per scomporre un polinomio. Il metodo si basasulla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.Prendiamo in considerazione il seguente prodotto: a x yz=axayaz . Il nostro obiettivo è oraquello di procedere da destra verso sinistra, cioè avendo il polinomio axayaz come possiamo fareper individuare il prodotto che lo ha generato? In questo caso semplice possiamo osservare che i tre monomicontengo tutti la lettera a, che quindi si può mettere in comune, o come anche si dice “in evidenza”. Perciòscriviamo axayaz=a x yz .EsempioPer esempio, scomporre il numero 36 significa scriverlo come 2 2 ⋅3 2 dove 2 e 3 sono i suoifattori primi. Anche 36=9·4 è una scomposizione, ma non è in fattori primi. Allo stesso modo unpolinomio va scomposto in fattori non ulteriormente scomponibili che si chiamano irriducibili.3a 2 b 2a 3 −5b 2 −7c= 3a 2 b2a 3 3a 2 b−5 b 2 3a 2 b−7c= 6 a 5 b−15 a 2 b 3 −21 a 2 bcL'ultima uguaglianza, letta da destra verso sinistra, è il raccoglimento totale a fattore comune.Partendo da 6a 5 b−15 a 2 b 3 −21a 2 bc possiamo notare che i coefficienti numerici 6, 15 e 21 hanno il 3come fattore in comune. Notiamo anche che la lettera a è in comune, come la lettera b. Raccogliendo tutti ifattori comuni si avrà il prodotto 3a 2 b 2a 3 −5b 2 −7c di partenza .244
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