Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra1 – 5. Scomposizioni e frazioni►18. Potenza di una frazione algebricaLa potenza di esponente n, naturale diverso da zero, della frazione algebrica A con B ≠ 0 (C.E.) è laBfrazione avente per numeratore la potenza di esponente n del numeratore e per denominatore la potenza diesponente n del denominatore: AB n = AnB n . Calcoliamo x−23x −1 2 .x−2Innanzi tutto determiniamo le C.E. per la frazione assegnatax 2 −1 = x−2 x−1⋅x+ 1con C.E.:x−1 x1≠0 da cui C.E. x≠1∧x≠−1 dunque si ha x−23x−2 x −132 =x−1 3 ⋅x+1 3 .Casi particolari dell’esponente• Se n = 0 sappiamo che qualsiasi numero diverso da zero elevato a zero è uguale a 1; lo stesso si puòdire se la base è una frazione algebrica, purché essa non sia nulla. A B 0 =1 con A≠0 e B≠0 Quali condizioni devono rispettare le variabili affinché si abbia 3a−25a 10a 0 2 =1 ?0Scomponiamo in fattori sia il numeratore che il denominatore della frazione: 3a−2.5a⋅a+2Determiniamo le C.E. : a≠0∧a2≠0 da cui C.E.: a≠0∧a≠−2 .Poniamo poi la condizione affinché la frazione non sia nulla, cioè anche il suo numeratore deve esserediverso da zero; indichiamo con C 0 questa condizione dunque C 0 : 3a−2≠0 da cui C 0 : a≠ 2 3 .Le condizioni di esistenza sono allora a≠−2∧a≠0∧a≠ 2 3 .• Se n è intero negativo la potenza con base diversa da zero è uguale alla potenza che ha per basel’inverso della base e per esponente l’opposto dell’esponente:−2. A B −n = B A +n con A≠0 e B≠0 Determinare x 2 5x6x 3 xScomponiamo in fattori numeratore e denominatore: x2⋅x 3 x⋅x 2 1C.E.: x ≠ 0 e x 2 + 1 ≠ 0 da cui C.E.: x ≠ 0 essendo l’altro fattore sempre diverso da 0.Per poter determinare la frazione inversa dobbiamo porre le condizioni perché non sia nulla e cioè che ancheil numeratore sia diverso da zero, quindi si deve avere C 0 = (x +2)·(x+3 ) ≠ 0 da cui C 0 = x ≠ -2 e x ≠ -3. x+2⋅ x+3Quindi se x ≠ 0, x ≠ -2 e x ≠ -3 si ha x⋅x 2 1 −2= x⋅ x 2 1−2 x+2⋅ x+3 2 = x 2 ⋅ x 2 1 2 x+2 2 ⋅ x+3 2Determina, con le dovute condizioni sulle variabili, le seguenti frazioni531 32 3x2x y235y x 2 − y12ab532[22a 2b −ab⋅ a−b−2]−122a 2 x 4x32a5332 −b 2a 3 +ab 2 2a 2 b ⋅ 5a2 −1−5aba4ab+ 4b 2 −92277x[ 2 x⋅ 2xx3]23a −4a3212a 2 −12a3 ⋅ 12a3 −6a 2