Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C 3 – Algebra 1 – 6. Algebra di 1° grado►19. Metodo di CramerDEFINIZIONE. Si chiama matrice del sistema lineare di due equazioni in due incognite la tabella[ a ba 1 b 1]in cui sono sistemati i coefficienti delle incognite del sistema posto in forma canonica; sichiama determinante della matrice il numero reale D= ∣a ba 1 b 1∣ =a⋅b 1−b⋅a 1 ad essa associato.Dalla generalizzazione del metodo di riduzionec b 1 −b c 1a b 1 −a 1 b ; a c 1−a 1 ca b 1 −a 1 b con a b 1−a 1 b≠0possiamo dedurre che:Un sistema lineare è determinato, ammette cioè una sola coppia soluzione se il determinante dellamatrice del sistema è diverso da zero. x−1 x1−3x−2=2 x− y3 x2388 Stabilire se il sistema{è determinato.x x y−3 y 4−x=x 2 −4 x y389 Verificare che il determinante della matrice del sistema{ 3 2 x− 7 4 y=1056 x−7 y=5 10 è nullo.La regola di Cramer, dal nome del matematico svizzero Gabriel Cramer (1704-1752), ci permette di stabilirela coppia soluzione di un sistema lineare di due equazioni in due incognite, costruendo e calcolando tredeterminanti:• D il determinante della matrice del sistema: D= ∣aa 1• D x il determinante D x = ∣c bbb 1∣ =a⋅b 1−b⋅a 1c 1 b 1∣ =c⋅b 1−b⋅c 1 della matrice ottenuta sostituendo in D aglielementi della prima colonna i termini noti. Osserviamo che questo numero è il numeratore dellafrazione (*)• D y il determinante D y = ∣a ca 1 c 1∣ =a⋅c 1−c⋅a 1 della matrice ottenuta sostituendo in D aglielementi della seconda colonna i termini noti. Osserviamo che questo numero è il numeratore dellafrazione (**)Con la condizione D≠0 il sistema è determinato e la coppia soluzione èEsempio{ 2x3y=44x−3y=2Calcoliamo i determinantiD=b∣a a 1 b 1∣ =a⋅b 1−b⋅a 1 D= ∣24x= D xD ;y = D yD3−3∣ =2⋅−3−3⋅4=−6−12=−18Poiché D≠0 il sistema è determinatoD x =b∣c c 1 b 1∣ =c⋅b 1−b⋅c 1 D x = ∣4 32 −3∣ =4⋅−3−3⋅2=−12−6=−18D y = ∣ a ca 1 c 1∣ =a⋅c 1−c⋅a 1 D y = ∣2 44 2∣ =2⋅2−4⋅4=4−16=−12x= D xD =−18 −18 =1y= D yD =−12 −18 = 2 3 . 338