Matematica C3 – Algebra 1 - itis magistri cumacini

www.matematicamente.it - Matematica C3 – Algebra1 – 5. Scomposizioni e frazioni►16. Semplificazione di una frazione algebricaSemplificare una frazione algebrica significa dividere numeratore e denominatore per uno stesso fattorediverso da zero, in questo modo infatti la proprietà invariantiva della divisione garantisce che la frazione noncambia di valore. Quando semplifichiamo una frazione numerica dividiamo il numeratore e il denominatoreper il loro M.C.D. che è sempre un numero diverso da zero, ottenendo una frazione ridotta ai minimi terminiequivalente a quella assegnata. Quando ci poniamo lo stesso problema su una frazione algebrica, dobbiamoporre attenzione a escludere quei valori che attribuiti alle variabili rendono nullo il M.C.D.Esempio16x 3 y 2 z10 x y 2 C.E. xy 2 ≠0→ x≠0∧ y≠0Puoi semplificare la parte numerica16 810 5 . Per semplificare la parte letterale applica la proprietà dellapotenze relativa al quoziente di potenze con la stessa base: x 3 : x=x 3−1 =x 2 e y 2 : y 2 =116x 3 y 2 z= 8x 2 z10 x y 2 5 Ridurre ai minimi termini la frazione: a2 −6a9a 4 −811° passo: scomponiamo in fattori- il numeratore: a 2 – 6a +9 = (a – 3 ) 2- il denominatore: a 4 – 81 = (a 2 – 9) · (a 2 + 9) = (a – 3) · (a + 3) · (a 2 + 9)2° passo: riscriviamo la frazionea−3 2a−3⋅a3⋅a 2 93° passo: C.E.: a−3 ⋅a3 ⋅a 2 9 ≠0 da cui C.E.: a ≠ -3 e a ≠ +3il terzo fattore non si annulla mai perché somma di un numero positivo e un quadrato;4° passo: semplifichiamo:a−3 2a−3⋅a3⋅a 2 9 = a−3a3a 2 9 Riduciamo ai minimi termini la frazione in due variabili: x 4 x 2 y 2 −x 3 y −xy 3x 4 −x 2 y 2 x 3 y −xy 3 .Scomponiamo in fattori- numeratore: x 4 x 2 y 2 −x 3 y−xy 3 =x 2 ⋅x 2 y 2 −xy⋅x 2 y 2 =x⋅x 2 y 2 ⋅x−y - denominatore: x 4 −x 2 y 2 x 3 y −xy 3 =x 2 ⋅x 2 −y 2 xy⋅x 2 −y 2 =x⋅ x 2 −y 2 ⋅ xy =x⋅xy 2 ⋅x−y La frazione diventa: x 4 x 2 y 2 −x 3 y −xy 3x 4 −x 2 y 2 x 3 y −xy = x⋅x2 y 2 ⋅ x−y 3x⋅ xy 2 ⋅ x−y .C.E.: x⋅ x y 2 ⋅ x 2 y 2 ≠0 cioè C.E.: x≠0∧ x≠−ySemplifichiamo i fattori uguali:2 2x ⋅( x + y ) ⋅( x − y)1f = =2/2 2x ⋅( x − y) ⋅( x + y ) ( x − y)Semplificazioni errateabaquesta semplificazione è errata perché a e b sono addendi, non sono fattori.x 2 x4x 2 2questa semplificazione è errata perché x 2 è un addendo, non un fattore.x 2 y 2 x y 2 Questa frazione non si può semplificare.3a ⋅3ax2( a − 2) a − 2 ( x − y ) ⋅( a − b)= ;2− 7 x − 7 ( y − x) ⋅( a − b)a + ab a ⋅= =3a a( a + b)2f 3 2 2a + b 1+b= =a a= 1;273( 2x − 3y)1=2( 3y − 2x) ( 3y − 2x)