Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

78 Cálculo de elementos de geometria diferencial discreta na GPU
Infelizmente, nenhuma das técnicas analisadas preenche simultaneamente todos os requisitos
apresentados. Embora as técnicas baseadas na aproximação por superfícies analíticas ou curvatura
normal sejam adequadas para a arquitetura das atuais GPU e, portanto, sejam bastante eficientes, não
produzem resultados robustos para malhas arbitrárias. Por outro lado, as técnicas de aproximação
pela média pelo tensor de curvatura são robustas, mas difíceis de serem implementadas nas GPUs em
razão do uso de estruturas de dados complexas ou necessidade de vários passos de renderização. Por
exemplo, a técnica de Alliez et al. [2003], baseada na equação 4.15, requer um pré-processamento
custoso para determinar quais arestas (e em qual proporção) estão dentro da região B em torno de
cada vértice. De forma semelhante, segundo o algoritmo de Rusinkiewicz [2004], a média entre os
tensores das faces requer o cálculo da área de Voronoi de cada face que compartilha o vértice que
está sendo calculado. Esse cálculo requer pelo menos um passo adicional de renderização. Como o
algoritmo utiliza o mesmo princípio do cálculo de vetores normais (um passo para calcular sobre as
faces e outro passo para fazer a média), um total de (no mínimo) três passos de renderização para
calcular apenas o tensor de curvatura poderia comprometer o desempenho.
De modo a atender os requisitos necessários, propomos uma nova técnica capaz de unir a robustez
dos algoritmos de média pelo tensor de curvatura, e a simplicidade e eficiência dos métodos baseados
na aproximação por superfícies analíticas ou por curvatura normal. Nossa proposta é uma variação
do algoritmo de Rusinkiewicz [2004], tanto para calcular o tensor de curvatura como o tensor de
derivada da curvatura [Batagelo and Wu, 2007b].
Estimativa do tensor de curvatura
Para cada vértice, estimamos IIs a partir da relação entre este tensor e a derivada da curvatura
normal numa dada direção no plano tangente em um ponto p:
IIs(U) = IIsU = DUN. (4.16)
Numa superfície suave, o vetor U pode assumir qualquer direção perpendicular ao vetor normal
em p. Em uma malha triangular ou nuvem de pontos, essas direções podem ser aproximadas por
diferenças finitas como vetores compreendidos entre o vértice p e cada vértice da vizinhança de 1-
anel. De forma semelhante, as derivadas direcionais dos vetores normais podem ser aproximadas pela
diferença dos vetores normais previamente estimados nos vértices. As diferenças tanto de posições
como de vetores normais devem ser expressas em coordenadas do plano tangente em p. Assim, é
possível construir o seguinte sistema de equações lineares para cada vértice: