Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

4.2 Nossa proposta 79
(qi − p) · U (Nqi
IIs
=
(qi − p) · V
− Np) · U
(Nqi − Np)
(qi − p) · U
0
(qi − p) · V
(qi − p) · U
· V
0
(qi − p) · V
, (4.17)
⎡ ⎤
e
⎢ ⎥ (Nqi
⎣ f ⎦ =
g
− Np) · U
(Nqi − Np) · V
, (4.18)
onde qi é um ponto da vizinhança imediata de p (i = 1, 2, ..., n, sendo n o número de pontos nessa
vizinhança) e U, V são dois vetores ortonormais no plano tangente. Esse sistema pode ser resolvido
para IIs usando mínimos quadrados.
Nossa proposta é similar ao método de Rusinkiewicz [2004], diferindo apenas pelo fato de re-
alizarmos o cálculo diretamente para os vértices, ao invés de realizar um passo para determinar o
tensor de curvatura para cada face adjacente ao vértice, e um passo adicional para realizar a média
desses tensores. Na GPU, a estimativa dos tensores diretamente para os vértices pode ser realizada
em apenas um passo de renderização, aumentando a eficiência.
Estimativa do tensor de derivada da curvatura
Para calcular o tensor de derivada de curvatura, recorremos às equações 3.26 até 3.29 que nos
fornecem uma forma simples de obter Cs em coordenadas relativas às direções principais no plano
tangente. Para tanto, primeiro calculamos IIs e então extraímos seus autovalores (curvaturas princi-
pais) e autovetores (direções principais). As direções principais se tornam os novos vetores de base
U, V em p, e podemos expressar cada direção entre p e qi nessas novas coordenadas. Obtemos então
o seguinte sistema que expressa, por diferenças finitas, a relação Cs(U) = DUIIs em coordenadas
principais:
onde
Cs
∆Ei · U
∆Ei · V
=
∆Kmini
∆Kmini
· U ∆Kmaxi · U
· V ∆Kmaxi · V
onde i = 1, 2, ..., n, (4.19)
∆Ei = qi − p, (4.20)
∆Kmini = κminq i − κminp, (4.21)
∆Kmaxi = κmaxq i − κmaxp. (4.22)