Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

3.1 Geometria diferencial de superfícies 45
− T · DT N =
=
=
∂u ∂v
∂u ∂v
∂u ∂v
−Su
· Nu Nv
−Sv
∂u
∂v
−Su · Nu −Su · Nv ∂u
−Sv · Nu −Sv · Nv ∂v
e f ∂u
f g
∂v
(3.9)
(3.10)
(3.11)
= U ′ IIsU. (3.12)
U ′ IIsU = e∂u 2 + 2f∂u∂v + g∂v 2 . (3.13)
A simetria de IIs é obtida através da observação que N · Su = N · Sv = 0. IIs também pode ser
expressa por produtos escalares entre N e derivadas de segunda ordem
observando que
IIs =
e f
f g
=
Suu · N Suv · N
Svu · N Suv · N
, (3.14)
− Su · Nu = Suu · N. (3.15)
−Su · Nv = Suv · N. (3.16)
−Sv · Nu = Svu · N. (3.17)
−Sv · Nv = Suv · N. (3.18)
A matriz W = I −1
S IIs, onde I −1
S é a inversa de Is, é conhecida como operador de forma, ou
operador de Weingarten. Considerando vetores de base ortonormais, W = IIs. Essa matriz pode ser
transformada em uma matriz diagonal através de uma rotação do sistema de coordenadas locais. Os
elementos resultantes da diagonal (i.e., os autovalores) correspondem às curvaturas normais mínima e
máxima κmin, κmax. Curvaturas em quaisquer outras direções são combinações convexas destas duas
curvaturas. Os autovetores correspondentes são denominadas as direções principais Sκmin , Sκmax no
plano tangente e indicam a direção das curvas com curvatura mínima e máxima que passam por p. A
equação dos autovetores é degenerada nos chamados pontos umbilicais, onde κmin = κmax. Nesses
pontos, todas as direções do plano tangente ao redor de p são principais, e indicam que a superfície é