Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

84 Cálculo de elementos de geometria diferencial discreta na GPU
As figuras 4.5 e 4.6 exibem algumas imagens geradas por um aplicativo de visualização das pro-
priedades de geometria diferencial de segunda e terceira ordem estimadas com o nosso algoritmo na
GPU. Na figura 4.5, em (a) é mostrado o modelo de um nó com curvaturas principais visualizadas
como cores. Em (b) é mostrada a curvatura Gaussiana K = κminκmax em tons de cinza sobre o
modelo de uma chaleira. Nessa visualização, tons mais escuros e mais claros correspondem, respec-
tivamente, a curvaturas negativas e positivas. O tom de cinza médio corresponde a curvatura zero. É
possível observar que a superfície é localmente hiperbólica quando K < 0 (tons escuros), parabólica
ou planar quando K = 0 (cinza médio), e elíptica quando K > 0 (tons claros). As direções princi-
pais dos modelos da chaleira e nó são mostradas em (c) e (d), respectivamente. As setas vermelhas
apontam para as direções tangentes das curvaturas mínimas, enquanto que as setas verdes apontam
para as direções tangentes das curvaturas máximas. Na figura 4.6, em (a) é visualizada a curvatura
média H = 1
2 (κmin + κmax), em tons de cinza, sobre o modelo de um coelho. Em (b) é visualizada
uma codificação em cores da magnitude do tensor de derivada de curvatura (|Cs| = c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 + c 2 4,
onde c1, c2, c3 e c4 são os componentes não simétricos do tensor) para o modelo do coelho.
A figura 4.7 mostra o erro RMS da estimativa da curvatura Gaussiana em um toro, em termos
do grau de irregularidade na amostragem. O toro, de raio interno 1 e raio externo 2, é discretizado a
partir da superfície paramétrica:
⎧
⎪⎨ x = (2 + cos v) cos u
S(u, v) = y = (2 + cos v) sin u
⎪⎩
z = sin v
(4.25)
A discretização utilizada é composta de 30 lados na circunferência interna e 60 na circunferência
externa, e utiliza normais aos vértices calculadas segundo o algoritmo de Gouraud [1971], que é o
mesmo algoritmo utilizado em nossa estimativa de elementos de primeira ordem.
Para o cálculo do erro, utilizamos como parâmetro de comparação aquele obtido pela avaliação
da equação analítica da curvatura Gaussiana nesse modelo:
K =
cos v
2 + cos v
(4.26)
A figura 4.8 mostra duas renderizações do toro em wireframe para ilustrar a irregularidade dessa
distribuição para os graus respectivos de 0% e 100%. O valor de 100% corresponde ao maior grau
de aleatoriedade possível antes da introdução de triângulos degenerados. Todos os resultados foram
obtidos com números em formato de ponto flutuante de precisão simples. Esse gráfico mostra que