Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

3.1 Geometria diferencial de superfícies 43
necessariamente ortogonais e podem até mesmo não existir. Na prática, supõe-se que tais vetores
sempre existem, e uma operação de ortogonalização é utilizada para forçar a obtenção de uma base
ortogonal.
A relação entre T , B e o vetor normal pode ser tal que N = T × B ou N = B × T em diferentes
regiões da superfície, uma vez que o produto vetorial dos vetores tangentes sempre deve apontar na
mesma direção do vetor normal definido pela equação 3.1. Tal base tangente define um sistema de
coordenadas que coincide com o sistema de coordenadas no qual as chamadas texturas de normais
(normal maps), utilizadas em técnicas de mapeamento de detalhes 3D, são definidas. O vetor tangente
corresponde ao eixo x do mapa de textura (direção crescente de s). O vetor bitangente corresponde
ao eixo y (direção crescente de t), e o vetor normal aponta na direção que, intuitivamente, define qual
é a “frente” da textura.
Primeira forma fundamental
A primeira forma fundamental Is compreende um tensor com o qual é possível tratar questões
métricas (área, comprimento e ângulo) de S sem precisar fazer referências ao espaço no qual S está
imerso. Em especial, esta forma descreve a distorção da parametrização local de S em relação a ve-
tores de base ortonormais do espaço Euclidiano. Por exemplo, um vetor tangente T a uma curva sobre
S que passa por umponto p pode ser representado em coordenadas locais por um par de coeficientes
′
infinitesimais U = ∂u ∂v numa combinação linear dos vetores de base :
T = ∂uSu + ∂vSv =
Su Sv
∂u
∂v
Su Sv
. (3.2)
A magnitude e a direção de T variam de acordo com a magnitude e ângulo dos vetores de base.
Se os vetores de base são ortonormais, a variação é a mesma do espaço R 3 . Is descreve essa relação
através de três coeficientes da forma quadrática obtida da quantidade T · T :