Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

70 Cálculo de elementos de geometria diferencial discreta na GPU
obtida através da interpolação linear dos tensores calculados nos vértices.
Na aproximação do tensor de curvatura, supõe-se em geral a existência prévia de uma estimativa
do vetor normal ao vértice. Essa estimativa é normalmente obtida pela média dos vetores normais
das faces adjacentes ao vértice. As diversas técnicas de estimativa do vetor normal apresentadas
na literatura se diferem pelo modo como essa média é ponderada, como visto na seção 4.1.1. Não
obstante, o método mais difundido consiste simplesmente em normalizar a soma dos vetores (não
unitários) normais às faces adjacentes [Gouraud, 1971].
Infelizmente, não há consenso sobre qual abordagem produz resultados mais acurados para es-
timar o vetor normal de vértices de uma malha triangular arbitrária, uma vez que essa malha pode
representar diferentes tipos de superfícies suaves. Por outro lado, conforme observado por Gold-
feather and Interrante [2004], mesmo quando uma malha é amostrada sobre uma superfície analítica
e tem vetores normais exatos em cada vértice, há outras fontes de introdução de erro na estimativa
do tensor de curvatura, como a não regularidade da amostragem. De modo a comparar com nossa
proposta, as técnicas apresentadas a seguir são divididas nas seguintes classes: (1) aproximação por
superfícies analíticas; (2) aproximação pela curvatura normal; (3) aproximação pela média do tensor
de curvatura.
Aproximação por superfícies analíticas
O método mais tradicional de estimar propriedades de geometria diferencial de uma malha trian-
gular é através da aproximação de uma superfície paramétrica a uma região local de pontos da malha.
A matriz de Weingarten pode então ser obtida dessa superfície de forma analítica [Hamann, 1993,
Cazals and Pouget, 2003, Goldfeather and Interrante, 2004].
Inicialmente são escolhidos dois vetores ortonormais B e T no plano tangente em p com vetor
normal N de modo a formar uma base (B, T, N) em R 3 . Cada vértice q adjacente a p é transformado
nessas coordenadas locais de modo que p = (0, 0, 0) e N = (0, 0, 1). Uma superfície quadrática
nesse sistema terá a seguinte forma:
z = f(x, y) = A
2 x2 + Hxy + C
2 y2 , (4.6)
onde os coeficientes A, H e C são os próprios coeficientes da matriz de Weingarten: e, f, g. Uti-
lizando a informação de cada vértice adjacente é possível construir o sistema de equações:
1
2 x2 i xiyi
1
2 y2 i
⎡
⎢
⎣
e
f
g
⎤
⎥
⎦ = zi onde i = 1, ..., n, (4.7)