Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

4.1 Estimativas em superfícies discretas 71
cuja solução pode ser encontrada pelo método de mínimos quadrados. Goldfeather and Interrante
[2004] observam que, para comparar esse sistema de equações com aqueles obtidos nas abordagens
de aproximação por curvatura normal e derivada direcional da normal, cada i-ésima equação pode ser
multiplicada pelo fator 2
k2 , onde ki =
i
x2 i + y2 i . Fazendo (xi, yi) = ki(ui, vi), obtém-se:
1
2 x2 i xiyi
1
2 y2 i
u 2 i 2uivi v 2 i
⎡
⎢
⎣
⎡
⎢
⎣
e
f
g
e
f
g
⎤
⎥
⎦ = k2 i
2
⎤
u 2 i 2uivi v 2 i
, (4.8)
⎥
⎦ = di, (4.9)
onde di = 2
k2 zi. Ao isolar zi, obtém-se a equação zi =
i
di
2 k2 i que corresponde à equação da parábola
que passa por p (a origem) e pelo ponto (ki, zi). Como ki = x2 i + y2 i , a parábola passa pela origem e
pelo ponto (xi, yi, zi) do R3 . Esse resultado indica que a robustez das estimativas do tensor IIs usando
este método depende do quanto a região local em torno de p é melhor aproximada por parábolas nas
direções das arestas aos vértices adjacentes. Erros de aproximação são maiores em malhas amostradas
de forma irregular, pois nesses casos tende a ser igualmente maior o número de superfícies analíticas
que se encaixam simultaneamente numa mesma vizinhança de pontos.
A abordagem de aproximação por superfícies quadráticas pode ser estendida para superfícies
de ordem mais elevada. Goldfeather and Interrante [2004] utiliza superfícies cúbicas e combina as
informações já existentes do vetor normal aos vértices adjacentes de modo a obter estimativas mais
robustas das direções principais. A idéia de aproveitar o vetor normal dos vértices adjacentes foi
seguida por outras técnicas baseadas na vizinhança de 1-anel, como a de Rusinkiewicz [2004], e tem
se revelado importante para a obtenção de resultados robustos em malhas irregulares.
Aproximação pela curvatura normal
Conforme foi mostrado na seção 3.1.2, a multiplicação de IIs por um vetor U duas vezes produz
um escalar que corresponde à curvatura normal na direção U:
IIs(U, U) = U ′ IIsU = κU. (4.10)
Para superfícies discretas, uma estimativa da curvatura normal na direção de uma aresta entre
um vértice p a q pode ser obtida pela fórmula da curvatura do círculo osculador que passa por esses