Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

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72 Cálculo de elementos de geometria diferencial discreta na GPU vértices [Chen and Schmitt, 1992, Meyer et al., 2003]: (p − q) · Np κpq = 2 p − q2 , (4.11) onde Np é o vetor normal em p. Combinando as equações 4.10 e 4.11 e fazendo U = (p − q) = , é possível construir o seguinte sistema de n equações, onde n é o número de arestas ui vi adjacentes a p: ui vi u 2 i 2uivi v 2 i U ′ iIIsUi = κUi onde i = 1, 2, ..., n, (4.12) e f f g ui vi ⎡ ⎤ e ⎢ ⎥ ⎣ f ⎦ = = κUi , κUi . (4.13) (4.14) g Este sistema pode ser resolvido para IIs usando mínimos quadrados [Chen and Schmitt, 1992]. Comparando este conjunto de equações com aquele obtido pela aproximação de superfícies quadráti- cas, verifica-se que os dois diferem apenas no tipo de curvas aproximadas na direção de cada aresta: parábolas, no caso da aproximação por superfícies quadráticas; círculos, na aproximação pela curvatura normal. Dessa forma, a aproximação pela curvatura normal possui as mesmas deficiências da aproximação por superfícies analíticas. Rusinkiewicz [2004] destaca como principal deficiência dessas técnicas a ambigüidade no cálculo da curvatura em configurações de geometria com vértices coincidentes com a interseção de duas linhas. Em tais regiões, tanto uma superfície plana como hiperbólica se ajustam ao conjunto de pontos. Aproximação pela média do tensor de curvatura Esta abordagem é baseada na possibilidade de estimar um tensor de curvatura para cada aresta e realizar uma média entre os tensores calculados para todas as arestas contidas em uma região da malha em torno de um vértice p. Considera-se que, para cada aresta E de uma malha triangular, há uma curvatura mínima e máxima associada, sendo que a curvatura mínima encontra-se na direção da aresta e a curvatura máxima na direção perpendicular que cruza a aresta ao longo do plano tangente. Tal condição permite definir um tensor para cada ponto da aresta. A média entre os tensores calculados para as arestas dentro de uma região em torno de p é dada por:
4.1 Estimativas em superfícies discretas 73 Ts(p) = 1 |A| arestas U β(U) |U ∩ A| Ū Ū ′ , (4.15) onde p é um vértice da malha, |A| é a área da superfície discreta em torno de p e sobre a qual o tensor está sendo estimado, β(U) é o ângulo (positivo se convexo, negativo se côncavo) entre os vetores normais dos dois triângulos que compartilham a aresta U, |U ∩ A| é o comprimento de U ∩ B (entre 0 e |U|), e Ū é um vetor (coluna) unitário paralelo à aresta U. Ts difere de IIs por ser um tensor 3×3 que inclui informações sobre o vetor normal. Em especial, o autovetor associado ao autovalor de menor magnitude é uma estimativa do vetor normal em p. Os dois outros autovalores correspondem a κmin, κmax, mas com autovetores trocados, i.e., o autovetor associado ao autovalor de κmin indica a direção da curvatura máxima, e vice-versa. As técnicas de aproximação pela média do tensor de curvatura não sofrem das mesmas defi- ciências das técnicas de aproximação por superfícies analíticas e por curvatura normal em vértices coincidentes com a interseção de duas linhas. Entretanto, outras configurações podem acumular er- ros que não são minimizados mesmo quando se aumenta o número de arestas utilizadas na avaliação da equação 4.15. Uma dessas configurações é destacada por Rusinkiewicz [2004]: os pólos de uma esfera geodésica construída a partir da subdivisão de um tetraedro. Procurando resolver as deficiências dessas técnicas [Cohen-Steiner and Morvan, 2003, Alliez et al., 2003], Rusinkiewicz [2004] propõe um novo método de aproximação pela média do tensor de curvatura, baseando-se na idéia de Goldfeather and Interrante [2004] de utilizar o vetor normal já existente nos vértices da vizinhança de 1-anel. De forma semelhante aos algoritmos tradicionais de cálculo do vetor normal, o tensor IIs é calculado inicialmente para as faces e então estimado para os vértices como uma média dos tensores das faces adjacentes. Os resultados mais robustos são obtidos quando essa média é ponderada de acordo com a área da região de Voronoi em torno do vértice de interesse. O método de Rusinkiewicz [2004] produz resultados acurados tanto para as configurações onde falham os métodos de aproximação por superfícies analíticas (e.g., vértices de interseções entre duas linhas), quanto para as configurações onde falham os outros métodos por média do tensor de curvatura (e.g., pólos de esferas geodésicas). Como conseqüência, o método também produz resultados visualmente mais satisfatórios em modelos digitalizados. Nestes modelos, é comum a presença, na malha triangular, de configurações problemáticas às outras técnicas, o que gera o aparecimento de outliers (estimativas grosseiras, porém pontuais) em regiões do modelo que deveriam ter curvatura suave. Dos algoritmos citados, o método de Rusinkiewicz [2004] é o único a calcular também elementos
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