Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

42 Atributos elementares para manipulação direta
3.1 Geometria diferencial de superfícies
A geometria diferencial de superfícies compreende o estudo da geometria de variedades bidimen-
sionais utilizando cálculo diferencial. Em nosso trabalho estamos especialmente interessados, para
cada amostra da superfície, no cálculo de vetor normal, vetores tangentes alinhados às coordenadas
de textura, a maior e menor curvatura, as direções associadas a essas curvaturas, e as derivadas dessas
curvaturas.
Vamos considerar uma superfície regular descrita pela função paramétrica S : R 2 → R 3 e um
ponto p = S(u, v) nessa superfície sobre a qual queremos analisar seu comportamento local em
torno de p. A seguir conceituamos os elementos de geometria diferencial que utilizamos no desen-
volvimento da arquitetura de suporte a tarefas de interação 3D, classificando-os segundo a ordem das
derivadas de S às quais eles relacionam. Para o detalhamento desse conteúdo, sugerimos o livro-texto
de Carmo [1976] e os trabalhos de Lengyel [2003] e Gravesen and Ungstrup [2002].
3.1.1 Elementos de primeira ordem
Elementos de geometria diferencial de primeira ordem são obtidos através das primeiras derivadas
parciais da superfície S. Entre eles destacamos o vetor normal, vetor tangente e vetor bitangente. Por
completude, também introduzimos o conceito de primeira forma fundamental.
Vetores normal, tangente e bitangente
O par de vetores de derivadas parciais
Su Sv
=
∂S
∂u
∂S
∂v
, juntamente com um vetor
normal, define uma base local sobre o plano tangente a S em p. O vetor normal unitário N em p é
definido como
N(u, v) = Su × Sv
. (3.1)
Su × Sv
Em síntese de imagens, técnicas de mapeamento de textura para simulação de detalhes 3D uti-
lizam as coordenadas do espaço de textura (s, t) como parâmetros, havendo a necessidade de uma
reparametrização S(s, t) = S(s(u, v), t(u, v)), de sorte que S(s, constante) e S(constante, t) pas-
sam a ser as curvas coordenadas de S. Assim, os vetores de base do plano tangente em qualquer ponto
de S devem estar alinhados com as direções nas quais a derivada de s e t é zero. Em especial, o vetor
tangente T é definido como o vetor unitário no plano tangente tal que DT t = 0 1 e DT s > 0. Simi-
larmente, o vetor bitangente B é definido como o vetor unitário no plano tangente tal que DBs = 0
e DBt > 0. Dependendo da forma como as funções s e t são definidas, os vetores T e B não serão
1 Derivada direcional de t na direção T .