Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

46 Atributos elementares para manipulação direta
localmente esférica.
A multiplicação IIs(U, U) = U ′ IIsU (considerando que W = IIs) de qualquer vetor unitário U
em coordenadas locais do plano tangente, produz um escalar. Tal valor é a curvatura normal κU(p)
na direção U, no ponto p onde IIs foi calculado. Por sua vez, a multiplicação IIs(U) = IIsU produz
um vetor no plano tangente que equivale à derivada direcional de N na direção U (DUN).
A partir de κmin e κmax é possível definir as curvaturas Gaussiana e média, utilizadas para avaliar
a superfície de forma qualitativa. O valor K = κminκmax, conhecido como curvatura Gaussiana, in-
dica se a superfície é localmente elíptica (K > 0), hiperbólica (K < 0) ou parabólica/plana (K = 0).
A curvatura média é definida como H = 1
2 (κmin +κmax), e está relacionada à área delimitada por um
contorno fechado da superfície. Dada uma curva fechada, a superfície de menor área delimitada por
ela tem curvatura média igual a zero em todos os pontos. Tal superfície é conhecida como superfície
mínima.
3.1.3 Elementos de terceira ordem
Gravesen e Ungstrup [Gravesen and Ungstrup, 2002] definem um tensor Cs relacionado à taxa
de mudança da curvatura de S ao redor de p. Através deste tensor é possível obter as derivadas das
curvaturas normais. Cs é um tensor simétrico trilinear 2×2×2 (uma matriz 3D) de posto 3, composto
de quatro elementos únicos baseados em derivadas parciais de terceira ordem. Organizado como um
vetor de matrizes, Cs tem a seguinte forma:
onde
a b b c
Cs = DuIIs DvIIs =
, (3.19)
b c c d
a = Suuu · N + 3Suu · Nu, (3.20)
b = Suuv · N + Suu · Nv + 2Suv · Nu (3.21)
= fu + Suu · Nv + Suv · Nu, (3.22)
c = Suvv · N + Svv · Nu + 2Suv · Nv (3.23)
= fv + Svv · Nu + Suv · Nv, (3.24)
d = Svvv · N + 3Svv · Nv, (3.25)
e f é o segundo componente de II. Se as curvaturas e direções principais forem conhecidas, os valores