Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

44 Atributos elementares para manipulação direta
T · T =
=
=
=
Su Sv
∂u
·
∂v
∂u ∂v
Su
·
∂u ∂v
∂u ∂v
Sv
Su Sv
Su Sv
Su · Su Su · Sv
Sv · Su Sv · Sv
E F ∂u
F G
∂v
∂u
∂v
∂v
∂u
∂u
∂v
(3.3)
(3.4)
(3.5)
(3.6)
= U ′ IsU. (3.7)
U ′ IsU = E∂u 2 + 2F ∂u∂v + G∂v 2 . (3.8)
É possível assumir que S é parametrizada por coordenadas curvilíneas ortonormais, de sorte que
Is em sua forma matricial é sempre uma matriz identidade (E = G = 1, F = 0). Esse pressuposto
simplifica o cálculo de elementos de segunda ordem e é razoável caso as quantidades de interesse
sejam apenas elementos tais como curvaturas normais, curvatura média, curvatura Gaussiana, curva-
turas principais e direções principais, pois estas quantidades independem do tipo de parametrização.
De fato, em malhas triangulares e nuvens de pontos, não há informação sobre curvas coordenadas e
qualquer parametrização não degenerada pode ser assumida.
3.1.2 Elementos de segunda ordem
Segundo as equações de Weingarten [Carmo, 1976], a derivada direcional DT
N de
N podeser definida como a combinação linear de
.
Su Sv com os coeficientes infinitesimais Nu Nv =
∂N
∂u
∂N
∂v
A curvatura normal define o quanto N é rodado a partir de um deslocamento tangencial infinite-
simal sobre uma seção normal de S, seção esta obtida por um plano paralelo a N, contendo p, que
intersecta S na direção T . A interseção entre esse plano e S forma uma curva na direção T cuja
curvatura no ponto p equivale ao valor recíproco do raio ρ do círculo osculador que passa por este
ponto: κT (p) = 1
ρ .
A segunda forma fundamental IIs está relacionada à informação sobre o quanto um vetor N
normal à S no ponto p varia numa direção tangencial à curva que passa por esse ponto, ou seja, à
derivada direcional DT N de N numa direção T