Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

4.1 Estimativas em superfícies discretas 73
Ts(p) = 1
|A|
arestas U
β(U) |U ∩ A| Ū Ū ′ , (4.15)
onde p é um vértice da malha, |A| é a área da superfície discreta em torno de p e sobre a qual o tensor
está sendo estimado, β(U) é o ângulo (positivo se convexo, negativo se côncavo) entre os vetores
normais dos dois triângulos que compartilham a aresta U, |U ∩ A| é o comprimento de U ∩ B (entre
0 e |U|), e Ū é um vetor (coluna) unitário paralelo à aresta U.
Ts difere de IIs por ser um tensor 3×3 que inclui informações sobre o vetor normal. Em especial,
o autovetor associado ao autovalor de menor magnitude é uma estimativa do vetor normal em p. Os
dois outros autovalores correspondem a κmin, κmax, mas com autovetores trocados, i.e., o autovetor
associado ao autovalor de κmin indica a direção da curvatura máxima, e vice-versa.
As técnicas de aproximação pela média do tensor de curvatura não sofrem das mesmas defi-
ciências das técnicas de aproximação por superfícies analíticas e por curvatura normal em vértices
coincidentes com a interseção de duas linhas. Entretanto, outras configurações podem acumular er-
ros que não são minimizados mesmo quando se aumenta o número de arestas utilizadas na avaliação
da equação 4.15. Uma dessas configurações é destacada por Rusinkiewicz [2004]: os pólos de uma
esfera geodésica construída a partir da subdivisão de um tetraedro.
Procurando resolver as deficiências dessas técnicas [Cohen-Steiner and Morvan, 2003, Alliez
et al., 2003], Rusinkiewicz [2004] propõe um novo método de aproximação pela média do tensor de
curvatura, baseando-se na idéia de Goldfeather and Interrante [2004] de utilizar o vetor normal já
existente nos vértices da vizinhança de 1-anel. De forma semelhante aos algoritmos tradicionais de
cálculo do vetor normal, o tensor IIs é calculado inicialmente para as faces e então estimado para os
vértices como uma média dos tensores das faces adjacentes. Os resultados mais robustos são obtidos
quando essa média é ponderada de acordo com a área da região de Voronoi em torno do vértice de
interesse.
O método de Rusinkiewicz [2004] produz resultados acurados tanto para as configurações onde
falham os métodos de aproximação por superfícies analíticas (e.g., vértices de interseções entre duas
linhas), quanto para as configurações onde falham os outros métodos por média do tensor de cur-
vatura (e.g., pólos de esferas geodésicas). Como conseqüência, o método também produz resultados
visualmente mais satisfatórios em modelos digitalizados. Nestes modelos, é comum a presença, na
malha triangular, de configurações problemáticas às outras técnicas, o que gera o aparecimento de
outliers (estimativas grosseiras, porém pontuais) em regiões do modelo que deveriam ter curvatura
suave.
Dos algoritmos citados, o método de Rusinkiewicz [2004] é o único a calcular também elementos