Uma Arquitetura de Suporte a Interações 3D ... - DCA - Unicamp

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84 Cálculo de elementos de geometria diferencial discreta na GPU As figuras 4.5 e 4.6 exibem algumas imagens geradas por um aplicativo de visualização das propriedades de geometria diferencial de segunda e terceira ordem estimadas com o nosso algoritmo na GPU. Na figura 4.5, em (a) é mostrado o modelo de um nó com curvaturas principais visualizadas como cores. Em (b) é mostrada a curvatura Gaussiana K = κminκmax em tons de cinza sobre o modelo de uma chaleira. Nessa visualização, tons mais escuros e mais claros correspondem, respectivamente, a curvaturas negativas e positivas. O tom de cinza médio corresponde a curvatura zero. É possível observar que a superfície é localmente hiperbólica quando K < 0 (tons escuros), parabólica ou planar quando K = 0 (cinza médio), e elíptica quando K > 0 (tons claros). As direções principais dos modelos da chaleira e nó são mostradas em (c) e (d), respectivamente. As setas vermelhas apontam para as direções tangentes das curvaturas mínimas, enquanto que as setas verdes apontam para as direções tangentes das curvaturas máximas. Na figura 4.6, em (a) é visualizada a curvatura média H = 1 2 (κmin + κmax), em tons de cinza, sobre o modelo de um coelho. Em (b) é visualizada uma codificação em cores da magnitude do tensor de derivada de curvatura (|Cs| = c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 + c 2 4, onde c1, c2, c3 e c4 são os componentes não simétricos do tensor) para o modelo do coelho. A figura 4.7 mostra o erro RMS da estimativa da curvatura Gaussiana em um toro, em termos do grau de irregularidade na amostragem. O toro, de raio interno 1 e raio externo 2, é discretizado a partir da superfície paramétrica: ⎧ ⎪⎨ x = (2 + cos v) cos u S(u, v) = y = (2 + cos v) sin u ⎪⎩ z = sin v (4.25) A discretização utilizada é composta de 30 lados na circunferência interna e 60 na circunferência externa, e utiliza normais aos vértices calculadas segundo o algoritmo de Gouraud [1971], que é o mesmo algoritmo utilizado em nossa estimativa de elementos de primeira ordem. Para o cálculo do erro, utilizamos como parâmetro de comparação aquele obtido pela avaliação da equação analítica da curvatura Gaussiana nesse modelo: K = cos v 2 + cos v (4.26) A figura 4.8 mostra duas renderizações do toro em wireframe para ilustrar a irregularidade dessa distribuição para os graus respectivos de 0% e 100%. O valor de 100% corresponde ao maior grau de aleatoriedade possível antes da introdução de triângulos degenerados. Todos os resultados foram obtidos com números em formato de ponto flutuante de precisão simples. Esse gráfico mostra que
4.3 Resultados 85 Fig. 4.5: Visualização de propriedades de geometria diferencial estimadas por nosso método na GPU. (a) Curvaturas principais exibidas como cores; (b) Curvatura Gaussiana, em tons de cinza; (c, d) Direções principais. Fig. 4.6: Visualização de propriedades de geometria diferencial estimadas por nosso método na GPU. (a) Curvatura média, em tons de cinza; (b) Magnitude do tensor de derivada da curvatura.
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