14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

21⎛onde: µ =⎜⎝⎞ ⎛µ 1µ 2; D(x) =... ⎟ ⎜⎠ ⎝µ nµ = D β (2.14)⎞ ⎛ ⎞1 d 11 d 21 ... d p1β 01 d 12 d 22 ... d p2β 1; β =. . .... . ⎟ ⎜⎠ ⎝ ... ⎟⎠1 d 1n d 2n ... d pn β psendo a matriz D uma matriz de posto completo, ou seja, n ≥ p. Os coeficiente são obtidosempregando-se o método dos mínimos quadrados (MONTGOMERY; PECK, 1955). Sob ahipótese de independência entre as observações, a função de mínimos quadrados para o problemapode ser escrita como:⎛n∑ n∑MSQ(β 0 ,β 1 ,...,β p ) = εi 2 = ⎝µ i − β 0 −i=1 i=1j=1⎞p∑β j d j (x i ) ⎠2(2.15)A solução que minimiza a Equação 2.15 em termos de β, segundo Montgomery e Peck(1955) é aquela que satisfaz:∂∂β 0MSQ(β) = −2∂∂β jMSQ(β) = −2⎛⎞n∑p∑⎝µ i − β ˆ 0 − βˆj d j (x i ) ⎠ = 0i=1i=1para j = 1,..., p e i = 1,...,n.j=1⎛⎞n∑p∑⎝µ i − β ˆ 0 − βˆj d j (x i ) ⎠d j (x i ) = 0j=1Expandindo-se o somatório externo e simplificando obtém-se o seguinte sistema deequações normais de mínimos quadrados:8>:n ˆ β 0ˆ β 0ˆ β 0.ˆ β 0nXd i1i=1nXd i2i=1nXd iki=1+ ˆ β 1+ ˆ β 1+ ˆ β 1.+ ˆ β 1nXd 1 (x i )i=1nXd 1 (x i ) 2i=1nXd 1 (x i )d 2 (x i )i=1nXd p (x i )d 1 (x i )i=1+ ˆ β 2+ ˆ β 2+ ˆ β 2.+ ˆ β 2nXi=1nXi=1nXi=1nXi=1d 2 (x i ) +... + ˆ β kd 1 (x i )d 2 (x i ) +... + ˆ β kd 2 (x i ) 2 +... + ˆ β kd p (x i )d 2 (x i ) +... + ˆ β knXnXd p (x i ) = µ ii=1i=1nXnXd 1 (x i )d p (x i ) = d i1 µ ii=1i=1nXnXd 2 (x i )d p (x i ) = d i2 µ ii=1i=1. . . .. .. ..nXnXd p (x i ) 2 = d ik µ ii=1i=1