14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

43ter sido observada a amostra Y(x), significando que o que se deseja de fato é P(Y 0 (x ′ )|Y(x)).DeGroot (1989) afirma que o preditor E(Y 0 (x ′ )|Y(x)) é um preditor ótimo pois minimiza o erroquadrático médio da predição.O cenário geoestatístico bayesiano de interesse é aquele formado pela distribuição conjuntade Y(x) e Y 0 (x ′ ), cujo modelo é escrito como:([ ] [ ])D V(σ(Y(x);Y 0 (x ′ )|θ) ∼ N β ; τ 2 2 ;φ) v(σ 2 ;φ)I +(2.46)D 0 v(σ 2 ;φ) ′ V 0 (σ 2 ;φ)onde V(σ 2 ;φ) é a matriz de covariâncias formada pelas amostras de Y(x) nas coordenadasx, V 0 (σ 2 ;φ) é a matriz do covariâncias formada pelas estimativas de Y 0 (x ′ ) nas coordenadasx ′ e v(σ 2 ;φ) é a matriz de covariâncias cruzadas formada pelas coodenadas de Y(x) e Y 0 (x ′ ).Sob uma distribuição gaussiana, considerando-se os parâmetros de θ conhecidos, a obtençãoda distribuição conjunta dada pela Equação 2.46 será simples, tanto quanto será a distribuiçãomarginal de [Y(x)] e a condicional [ Y 0 (x ′ )|Y(x) ] . Todavia os parâmetros não são conhecidos enecessitam então ser estimados, sob o enfoque não bayesiano ou se deve integrar a preditiva soba posteriori dos parâmetros no estimador bayesiano.As predições de Y 0 (x ′ ) condicionalmente às observações de Y(x) serão obtidas como:P ( Y 0 (x ′ )|Y(x) ) ∫= P ( Y 0 (x ′ );θ|Y(x) ) ∫ (P Y0 (x ′ );Y(x);θ )dθ =P ( Y(x) ) dθ∫ (P Y0 (x ′ )|Y(x);θ ) P ( Y(x);θ )=P ( Y(x) ) dθ∫ (P Y0 (x ′ )|Y(x);θ ) P ( θ|Y(x) )=P ( Y(x) ) P( Y(x) ) dθ∫= P ( Y 0 (x ′ )|Y(x);θ ) P ( θ|Y(x) ) dθ (2.47)que representa uma média ponderada de (Y 0 (x)|Y(x);θ) sobre o espaço dos parâmetrosθ = (β;σ 2 ;φ;τ 2 ) onde os pesos são determinados pela distribuição a posteriori conjunta[θ|Y(x)]. Considerando as propriedades da distribuição gaussiana, e um modelo sem o efeitopepita, ou seja, τ 2 = 0, a Equação 2.47 terá uma distribuição de probabilidades dada por:[Y0 (x ′ )|Y(x);β;σ 2 ;φ ] ∼ N n(D 0 β + r ′ (φ) ( R(φ) ) −1(Y(x) − Dβ);σ 2( R 0 (φ) − r ′ (φ)(R Y (φ)) −1 r(φ) )) (2.48)onde σ 2 R 0 (φ) representa a variância sem se levar em consideração a informação da amostra e