14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

37Y(x) como:A distribuição preditiva do processo S(x) é definida condicionalmente às observaçõesP(S(x)|Y(x)) = P(S(x);Y(x)) , (2.32)P(Y(x))entretanto, o cenário é constituído pela distribuição conjunta do processo S(x), de observaçõesde Y(x) e de parâmetros desconhecidos θ. Para se obter a distribuição conjunta de (S(x);Y(x))exigida na Equação 2.32, integra-se a distribuição de (S(x);Y(x);θ) sobre o espaço deparâmetros, ou seja:∫∫P(S(x);Y(x)) = P(S(x);Y(x);θ)dθ = P(S(x)|Y(x);θ)P(θ|Y(x))P(Y(x))dθθθque, substituída em 2.32 produz:P ( S(x)|Y(x) ) ∫= P ( S(x)|Y(x);θ ) P ( θ|Y(x) ) dθ. (2.33)θEssa distribuição corresponde a uma média ponderada pela distribuição de θ condicionadaa Y(x), onde os pesos P ( θ|Y(x) ) refletem a incerteza a posteriori sobre os valores dosparâmetros do modelo.Bolstad (2004) mostra que aplicando-se o Teorema de Bayes, a distribuição a posterioridos parâmetros pode ser escrita como:P ( θ|Y(x) ) = P( θ;Y(x) )P ( Y(x) ) = P( Y(x)|θ ) P ( θ )P ( Y(x) ) (2.34)onde o termo P ( Y(x) ) = ∫ θ P( Y(x)|θ ) P(θ)d(θ) é constante sob a distribuição de [θ|Y(x)].A notação [ · ] corresponde à distribuição de probabilidades do interior do colchetes. O termoP ( Y(x)|θ ) é a função de verossimilhança de Y(x)|θ com distribuição gaussiana multivariada eP(θ) é a distribuição a priori de θ que expressa o conhecimento prévio acerca da distribuiçãode probabilidades dos parâmetros.Segundo Gelman et al. (2003) e Kolman (2004), excluindo-se o termo constanteP ( Y(x) ) a Equação 2.34 fica:P ( θ|Y(x) ) ∝ P ( Y(x)|θ ) P(θ) (2.35)Destaque-se que a Equação 2.35 não é uma distribuição de probabilidades, mask P ( θ|Y(x) ) o será para uma escolha adequada da constante k de proporcionalidade, obtidatanto por métodos analíticos quanto métodos numéricos.