14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

40Se forem conhecidos os parâmetros de média β e de correlação φ, Gelman et al. (2003)sugerem utilizar como uma priori cojungada a distribuição χ 2 -inversa escalonada – χ 2 ScI ,ou seja, [ σ 2 |β ; φ ] ∼ χ 2 ScI (n σ ; W 2 ) cuja função densidade de probabilidade é dada por:P(σ 2 ) = (n σ/2) (n σ/2)W n ( σσ 2) {−(n σ /2+1)exp − n σ W 2 }Γ(n σ /2)2 σ 2 , σ 2 > 0. (2.38)Nessa Equação 2.38, n σ corresponde aos graus de liberdade e W a uma medida de escala.A função de verossimilhança (Equação 2.19) pode aqui ser escrita como:{L(σ 2 ;φ;β;Y(x)) ∝ (σ 2 ) −(n/2) exp − 1}2 σ 2(Y(x) − Dβ)′ (R(φ)) −1 (Y(x) − Dβ)∝ (σ 2 ) −(n/2) exp{− n ˆσ 2 }2 σ 2, (2.39)onde ˆσ 2 = 1 n (Y(x) − Dβ)′ (R(φ)) −1 (Y(x) − Dβ) é o estimador MV para σ 2 .Tomando-se a priori conjugada sugerida tem-se:P(σ 2 |β;φ) ∝ (σ 2 ) − n σ +1 2 exp{− n σ W 2 }2 σ 2 . (2.40)Substituindo-se a Equação 2.39 e a Equação 2.40 na Equação 2.35 vem:P(σ 2 |Y(x);β;φ) ∝( σ 2) {− n+n σ2 +1exp − n ˆσ 2 + n σ W 2 }2 σ 2∝⎧⎪ ( σ 2) − n+n σ ⎨ (n+n σ ) n ˆσ 2 + n σ W 22 +1 n+n exp −σ⎪ 2 σ 2 .⎩⎫⎪⎬⎪⎭(2.41)Portanto, [ σ 2 |Y(x);β;φ ] ∼ χ 2 ScIc) Incerteza nos parâmetro de média e de escala.(n+n σ ; n ˆσ 2 + n σ W 2 ).n+n σNeste caso considera-se desconhecido os parâmetros da média β e de escala σ 2 e conhecidoo parâmetro φ da função de correlação. Ehlers (2006) sugere especificar uma prioriconjugada em duas etapas. Na primeira considera-se σ 2 fixo e se utiliza o resultado obtidona Equação 2.37 e na segunda etapa combina-se a função de verossimilhança da Equação2.19 com uma distribuição a priori para σ 2 , conforme a Equação 2.41, usando-se o fatode que P(β;σ 2 ) = P(β|σ 2 ) P(σ 2 ). Esquematicamente o procedimento fica:• Especifica-se as priori marginais, supondo independência entre elas;• Obtém-se a priori conjunta;