14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

75b) A variância do erro dado pela equação 3.10 deverá ser a menor possível, para escolhasconvenientes dos pesos.Minimizar a variância implica em igualar n derivadas parciais a zero, levando a umsistema de n equações e n incógnitas. Devido a condição de não tendenciosidade, que irá gerarmais uma equação sem parâmetros, o sistema será ampliado para n+1 equações e n incógnitas,cuja solução não é direta. Os multiplicadores de Lagrange são aplicados para converter essesproblemas de minimização restrita em um problema irrestrito. Isaaks e Srivastava (1989)introduzem os multiplicadores de Lagrange ϑ 1 e ϑ 2 na Equação 3.10, o que resulta em:( ⎛ ⎞n∑ n∑Var(ŷ 1 (x 0 ) − y 1 (x 0 )) = w ′ C w+2ϑ 1 a i − 1)+2ϑ 2⎝ b i⎠ (3.11)i=1Sob a condição dada pelo item (a), a expressão 3.11 não muda. Ela poderá ser minimizadaderivando-se a equação em relação a cada um dos pesos, inclusive os multiplicadores deLagrange e igualando-se a zero, o que resulta em:∂n∑(Var(ŷ 1 (x 0 ) − y 1 (x 0 ))) = 2 a i Cov(Y 1 (x i );Y 1 (x k ))∂a k+ 2−∂∂b k(Var(ŷ 1 (x 0 ) − y 1 (x 0 ))) = 2+ 2i=1n∑b i Cov(Y 1 (x i );Y 2 (x k ))i=1j=12Cov(Y 1 (x 0 );Y 1 (x k ))+2ϑ 1 = 0 para k = 1,2,...,nn∑a i Cov(Y 1 (x i );Y 2 (x k ))i=1n∑b i Cov(Y 1 (x i );Y 2 (x k ))i=1− 2Cov(Y 1 (x 0 );Y 2 (x k ))+2ϑ 2 = 0 para k = 1,2,...,m( n∑ )∂(Var(ŷ 1 (x 0 ) − y 1 (x 0 ))) = 2 a i − 1) = 0∂ϑ 1i=1∂∂ϑ 2(Var(ŷ 1 (x 0 ) − y 1 (x 0 ))) = 2A variância do erro fica:n∑b i = 0i=1Var(ŷ 1 (x 0 ) − y 1 (x 0 )) = Cov ( Y 1 (x 0 );Y 1 (x 0 ) ) − ϑ 1 −−m∑b j Cov(Y 2 (x j );Y 1 (x 0 ))j=1n∑a i Cov ( Y 1 (x i );Y 1 (x 0 ) )i=1