14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

79então um outro vetor Cp, nesse mesmo espaço vetorial será uma combinação linear dos vetoresde Y se existirem números reais a 1 ,...,a p tais que Cp = a 1 Y 1 ,a 2 Y 2 ,...a p Y p . Assim, segundoReis (1997), pode-se escrever o vetor Y como uma combinação de seus elementos como:Cp 1 = a 11 Y 1 + a 12 Y 2 +...+a 1p Y pCp 2 = a 21 Y 1 + a 22 Y 2 +...+a 2p Y p.Cp p = a p1 Y 1 + a p2 Y 2 +...+a pp Y psendo Cp k a k-ésima componente principal (não correlacionada) cuja variância seja a maiorpossível, ou seja:• Var(Cp k ) = e ′ k Σe k = λ k ;• Cov(Cp j ;Cp k ) = e ′ j Σe k = 0 j ≠ k;p∑• Var(Y i ) =k=1p∑Var(Cp i ) = λ 1 + λ 2 +...+λ p .k=1A porcentagem de contribuição de cada componente é determinada como:⎛%CCp k = λ k⎝p∑j=1⎞−1λ j⎠ . (3.14)Desta forma, aquelas primeiras m variáveis Y k que acumularem maior porcentagem,poderão ser substituídas pelas m componentes principais, reduzindo assim, o número devariáveis sem grande perda na variabilidade do processo.Segundo Johnson e Wichern (1992) o coeficiente de correlação entre as componentese as variáveis primárias Y k é dado por:√λi√λiρ(Cp i ;Y k ) = e ik√ = e ikonde i;k = 1,2,..., p.VarYk σ iiApesar da correlação entre as p variáveis e seus componentes principais ajudar a interpretaro papel dos componentes, esta mede somente a contribuição univariada de um particularY k para formar a componente Cp k e não a sua importância na presença das demais. Quandoas variáveis Y k forem processos medidos em escalas diferentes, recomenda-se utilizar a suapadronização para que possam ser comparáveis. O processo de seleção de componentes principaisa partir de variáveis padronizadas Z k se dá a partir da matriz de correlações R obtida