14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

45Substituindo-se o termo da verossimilhança (com distribuição normal) e o termo da priori(com distribuição χScI 2 ) a solução analítica resultará em uma distribuição a posteriori paraY 0 (x ′ ) com distribuição t − student dada por:onde:Assim:[Y0 (x ′ )|Y(x);β;φ ] ∼ t nσ +n(µ0 ;Q 0 Σ 1)µ 0 = D 0 β + r ′ (φ)RY−1 (φ)(y − Dβ),Q 0 = n σW σ + n ˆσ 2,n σ + nΣ 0 = RY−1 (φ) − r′ (φ)R −1 (φ)r(φ).E [ Y 0 (x ′ )|Y(x) ] = µ 0 ;Var [ Y 0 (x ′ )|Y(x) ] ( )nσ + n=Q 0 Σ 0 .n σ + n − 2c) Predição com incerteza nos parâmetros β e σ 2Neste caso, a distribuição preditiva para Y 0 (x ′ ) será dada por:P ( Y 0 (x ′ )|Y(x);φ) ) ==∫σ 2 ∫β∫ ∫σ 2YP ( y 0 ;β;σ 2 |y;φ ) dβ dσ 2P(y 0 ;β|y;σ 2 ;φ)P(σ 2 |y;φ)dβ dσ 2 .β(2.50)Integrando-se em relação a β vem:P ( Y 0 (x ′ )|Y(x);φ ) =∫σ 2 P(y 0 |y;σ 2 ;φ)P(σ 2 |y;φ)dσ 2 .O primeiro termo da integral corresponde à distribuição preditiva dada pela Equação 2.49e o segundo termo corresponde a distribuição a posteriori marginal P ( σ 2 |Y(x) ) . Para asprioris aqui adotadas, a distribuição a posteriori ficará:[Y0 (x ′ )|Y(x);φ ] ∼ t nσ +n(µ1N ;W 2 1 Σ 1N)onde µ 1N e Σ 1N dependerão da escolha para a priori de β, e então:E [ Y 0 (x ′ )|Y(x) ] = µ 1N ;Var [ Y 0 (x ′ )|Y(x) ] ( W2)= 1 Σ 1N.n σ + n − 2(2.51)