14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

69Expandindo essa matriz vem:⎛Σ =⎜⎝σ (1,1)1,1σ (1,1)1,2... σ (1,1)1,rσ (1,2)1,1σ (1,2)1,2... σ (1,2)1,sσ (1,1)2,1σ (1,1)2,2... σ (1,1)2,rσ (1,2)2,1σ (1,2)2,2... σ (1,2)2,s... ... ... ... ... ...σ (1,1)r,1σ (1,1)r,2... σ r,r (1,1) σ (1,2)r,1σ (1,2)r,2... σ r,s(1,2)σ (2,1)1,1σ (2,1)1,2... σ (2,1)1,rσ (2,2)1,1σ (2,2)1,2... σ (2,2)1,sσ (2,1)2,1σ (2,1)2,2... σ (2,1)2,rσ (2,2)2,1σ (2,2)2,2... σ (2,2)2,s... ... ... ... ... ...σ (2,1)s,1σ (2,1)s,2... σ s,r (2,1) σ (2,2)s,1σ (2,2)s,2... σ s,s(2,2)⎞⎟⎠Nesta matriz, o bloco superior esquerdo representa as autocovariâncias da variável Y 1e o bloco inferior direito as autocovariâncias das variável Y 2 . Os blocos superior direito e inferioresquerdo representam as covariâncias cruzadas entre as variáveis Y 1 e Y 2 . Os índices noexpoente dos elementos da matriz representam as variáveis envolvidas e os índices abaixo correspondemàs localizações. Assim, o elemento σ (2,1)i, jrepresenta a covariância entre a variávelY 2 medida na localização x i e Y 1 medida na localização x j . De uma forma geral, essa matriz decovariâncias não estabelece que as coordenadas devam ser totalmente ou parciamente coincidentes.Considerou-se aqui a notação x i para a i-ésima coordenada da variável Y 1 e x ′ j a j-ésimacoordenada da variável Y 2 .Modelos bivariados podem ser escritos como uma junção de modelos univariadoscomo: {Y1,i = µ 1 (x i )+S 1 (x i )+ε i , i = 1,...,r.Y 2, j = µ 2 (x j )+S 2 (x j )+ε j ,j = 1,...,s.onde:a) µ 1 (x i ) = D 1 β (1) e µ 2 (x j ) = D 2 β (2) são componentes determinísticos do modelo associadosa p 1 covariáveis em D 1 e a p 2 covariáveis em D 2 ;b) S 1 (x i ) e S 2 (x j ) são variáveis aleatórias espacialmente correlacionadas onde S 1 (x i ) ∼(N n 0;σ21 R(φ 1 ) ) (e S 2 (x j ) ∼ N n 0;σ22 R(φ 2 ) ) com σ1 2R(φ 1) e σ2 2R(φ 2) representando asautocorrelações de S 1 (x i ) e S 2 (x j ), respectivamente;c) ε i ∼ N ( 0;τ1) 2 e ε j ∼ N ( 0;τ2) 2 são os erros aleatórios independentes.As variáveis Y 1 e Y 2 não precisarão ser co-localizadas e nem medidas o mesmo númerode vezes, ou seja, podem ou não serem coincidentes na área (Figura 3.1).