14 - PPGMNE - Universidade Federal do Paraná

2.5.3 Ajuste de modelos e estimação dos parâmetros por máximaverossimilhança27Considerando o caso estacionário do modelo geoestatístico univariado dado pelaEquação 2.2, onde o processo S(x i ) pode ser escrito como um conjunto de observações Y comdistribuição de probabilidades de acordo com a Equação 2.3, os parâmetros gerais do modelo aserem estimados são: θ = (β,σ 2 ,φ,τ 2 ) onde, como já foi dito, φ é um parâmetro da função decorrelação.Os dadis y = {y 1 ,...,y n }, que representam uma realização do processo estocásticoespacial em n coordenadas, possui distribuição gaussiana n-variada, ou seja, Y∼ N n (µ;Σ)onde µ é um vetor de números reais, todos iguais e Σ é a matriz de variâncias e covariâncias detamanho n × n, com as propriedades de ser simétrica e definida positiva. Então, a distribuiçãoconjunta de Y , segundo (DUDEWICZ; MISHRA, 1988) será:{1f Y (y) =exp − 1 }(2π) n/2 |Σ| 21 2 (Y − µ)′ Σ −1 (Y − µ)para todo vetor Y de números reais.Sendo Y um vetor gaussiano correlacionado, sua função de verossimilhança será compostapela sua distribuição conjunta de probabilidades dada por:L(θ) = f(y|θ) = (|σ 2 R+τ 2 I|) −1/2(2π) n/2O logaritmo da função verossimilhança é dado por:{exp − 1 }2 (Y − Dβ)′ (σ 2 R+τ 2 I) −1 (Y − Dβ) . (2.19)l(θ) = − 1 2 log(2π)n − 1 2 log(|σ 2 R+τ 2 I|) − 1 2 (Y − Dβ)′ (σ 2 R+τ 2 I) −1 (Y − Dβ)l(θ) = − 1 [nlog(2π)+log(|σ 2 R+τ 2 I|)+2+ (Y − Dβ) ′ (σ 2 R+τ 2 I) −1 (Y − Dβ) ] . (2.20)Fazendo-se τ2 = ν 2 então Var(Y) = Σ = σ 2 R+τ 2 I = σ 2( )R+ τ2 I = σ 2 V .σ 2 σ 2Substituindo-se σ 2 R+τ 2 I por σ 2 V na Equação 2.20, vem:l(θ) = − 1 2[nlog(2π)+log(|σ 2 V |)+(Y − Dβ) ′ (σ 2 V) −1 (Y − Dβ) ] . (2.21)