Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

1.2. Notation 5
Um unnötige Fallunterscheidung zu vermeiden, sei ∏ ∅
:= 1, ∑ ∅
:= 0 und 1 ∅ := 1.
Ist v ein Vektor beziehungsweise A eine Matrix, so bezeichnet v T den transponierten
Vektor beziehungsweise A T die transponierte Matrix. Für einen n-
dimensionalen Vektor v = (v 1 , . . . , v n ) T und eine Menge M ⊂ {1, . . . , n} bezeichne
v M := (v i ) i ɛ M die Projektion von v auf die |M|-dimensionale Hyperebene. Für
eine reelle Zahl c ɛ R ist v + c := (v 1 + c, . . . , v n + c) T die Translation um c. Ist
w ɛ R n ein weiterer Vektor, so ist v ≤ w genau dann, wenn für alle Komponenten
gilt v i ≤ w i . In diesem Fall ist das abgeschlossene n-dimensionale Intervall
gegeben durch [v, w] : = × n i=1[v i , w i ]. n-dimensionale Intervalle werden auch als
(achsenparallele) Quader bezeichnet.
Ist (Ω, A) ein Messraum, so wird mit M(Ω, A) die Menge der Maße auf (Ω, A) bezeichnet
und mit M 1 (Ω, A) die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße auf (Ω, A).
Ist die Menge Ω endlich oder abzählbar, so wird abkürzend auch M 1 (Ω) : =
M 1 (Ω, P(Ω)) verwendet und mit der Menge aller Wahrscheinlichkeitsvektoren
identifiziert: M 1 (Ω) = { (p ω ) ω ɛ Ω ɛ [0, 1] |Ω| | ∑ ω ɛ Ω p ω = 1 } . Ebenso bezeichnet
M l := { β ɛ M 1 (Ω) | l · β ɛ N |Ω| } für l ɛ N die Menge aller empirischen Verteilungen,
die ein Wort der Länge l haben kann. Für endliche Mengen Ω bezeichne | · |
die Euklidische Norm auf M(Ω).
Eine Zufallsvariable ist eine messbare Abbildung zwischen zwei Messräumen, das
heißt X : (Ω 1 , A 1 ) → (Ω 2 , A 2 ). Ist (Ω 1 , A 1 , P ) ein Maßraum, so ist das Bildmaß
von P unter X gegeben durch P X = P (X ɛ · ).
Ist X eine reellwertige Zufallsvariable, so bezeichnet die rechtsseitig stetige Abbildung
F X : R → [0, 1], definiert durch F X (x) := P (X ≤ x) die Verteilungsfunktion
von X und E P X = ∫ XdP den Erwartungswert von X bezüglich P . Wenn keine
Verwechslungsgefahr besteht, wird E X verwendet.
Für Zufallsvariablen X, Y mit gleichem Wertebereich bedeutet X = d Y , dass die
Zufallsvariablen identisch verteilt sind, das heißt P X = P Y . Diese Abkürung
wird ebenso für Verteilungen beziehungsweise Wahrscheinlichkeitsmaße Q auf
dem selben Grundraum verwendet, das heißt es gilt genau dann X = d Q, wenn
P X = Q.
Für einen Grundraum (Ω, A, P ) und p > 1 sei L p (P ) die Menge der
p-integrierbaren Funktionen und L p +(P ) die Menge der nichtnegativen p-
integrierbaren Funktionen. Für f ɛ L p (P ) ist die L p –Norm von f gegeben durch
‖f‖ p := ( ∫ |f| p dP ) 1 p
für p < ∞, beziehungsweise ‖f‖ ∞ := inf{sup x ɛ Ω\N |f(x)| :
N ɛ A, P (N) = 0}.
D[0, 1] sei der Raum der rechtsseitig stetigen, reellen Funktionen auf [0, 1] mit
linkseitigem Grenzwert. Allgemeiner sei D d für d ɛ N der Raum der càdlàg-
Funktionen auf [0, 1] d , wie beispielsweise von Bickel und Wichura [16, Abschnitt 3]
definiert. Bezeichnen Q 1 (t), . . . , Q 2 d(t) für alle t ɛ [0, 1] d die achsenparallelen Quader,
die t und einen Eckpunkt des Einheitsquaders [0, 1] d als Eckpunkte ha-