Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

22 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeichenketten
Für alle n ≥ N 0 := max{N 1 , N 2 , N 3 , N 4 , e K } existiert genau ein k ≥ K, so dass
n k ≤ n < n k+1 = e k+1 . Somit folgt auf M:
M (d)
n
≥ M (d)
n k
≥ (1 − 2ε) 2
Θ ∗ k
≥ (1 − 3ε) 2
Θ ∗ (k + 1)
= (1 − 3ε) 2
Θ ∗ log n k+1
≥ (1 − 3ε) 2
Θ ∗ log n.
Wegen P (M) = 1 ergibt sich die Behauptung mit ε −→ 0.
✷
Bemerkung:
Die bewiesene Aussage lässt sich mit den in Arratia und Waterman [6] oder
Dembo, Karlin und Zeitouni [33] vorgestellten Methoden auch auf die d größten
Scores mit empirischer Verteilung in einer gegeben Teilmenge U ⊂ M 1 (A 2 ) verallgemeinern.
Dies bringt keine neuen Erkenntnisse, erfordert aber stellenweise
eine wesentlich aufwendigere Notation. Daher wurde hier darauf verzichtet, um
den Beweis übersichtlich und die Struktur erkennbar zu halten.
2.3 Poisson Approximation
In diesem Abschnitt wird die gemeinsame Verteilung der Maxima gegen unabhängige
Gumbel-Verteilungen gezeigt. In der Anwendung dürfte die asymptotische
Unabhängikeit von Bedeutung sein, da diese Eigenschaft eine sehr einfache
Berechnung der approximativen Wahrscheinlichkeiten ermöglicht. Anschaulich
lässt sich diese Eigenschaft damit erklären, dass es sich beim Überschreiten
eines großen Schwellenwerts um ein seltenes Ereignis handelt. Ist die Anzahl der
betrachteten Zeichen hinreichend groß, so lässt sich die gegenseitige Beeinflussung
dieser Ereignisse kontrollieren.
Als geeignete Metrik hat sich für diese Fragestellung die sogenannte ”
Totalvariation“
herausgestellt. In der Literatur sind zwei unterschiedliche Definitionen
üblich, die sich um den Faktor 2 unterscheiden. Hier wird die Variante verwendet,
wie sie von Arratia, Goldstein und Gordon in [3] und [4] in Zusammenhang mit
der Stein–Chen-Methode definiert wird.
Definition 2.4 (Totalvariation)
Seien (Ω, A) ein Messraum und µ, ν ɛ M 1 (Ω, A) Wahrscheinlichkeitsmaße auf