Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

44 Kapitel 3. Scan-Statistiken mit variabler Fenstergröße
Die Konvergenz dieser Summanden für n −→ ∞ wird nun für alle
u ɛ {1, . . . , D n } untersucht. Bezeichne hierfür ε n u := ⌊En un⌋ − ⌊A n un⌋ − n(E n u −
A n u) ɛ (−1, 1) den Rundungsfehler.
1) Wegen der Stationarität ist
1
n
⌊E
∑u nn⌋
i=⌊A n un⌋+1
Var ( I w (i) ) = 1 n
(
⌊E
n
u n⌋ − ⌊A n un⌋ ) Var ( I w (1) )
= ( )
Eu n − A n u π w (1 − π w ) + εn u
n πw (1 − π w )
( )
−→ n→∞ Eu − A u π w (1 − π w ).
2) Wiederum wegen der Stationarität ist K w (j) := Kov ( I w (i), I w (i + j) ) unabhängig
von i ɛ N. Somit gilt:
1
n
⌊Eu n n⌋ ⌊E
∑
u n n⌋
∑
i=⌊A n u n⌋+1 j=i+1
= 1 n
= 1 n
⌊E∑
u nn⌋−1
i=⌊A n un⌋+1
∑
Kov ( I w (i), I w (j) )
⌊Eu n n⌋−i
∑
j=1
⌊E n u n⌋−⌊An u n⌋−1
j=1
= ( E n u − A n u
) Ln u
K w (j)
(
⌊E
n
u n⌋ − ⌊A n un⌋ − j ) K w (j)
∑
K w (j) − 1 L
∑
n u
jK w (j) + εn u
n
n
j=1
j=1
L
∑
n u
j=1
K w (j),
wobei L n u := ⌊En un⌋ − ⌊A n un⌋ − 1 = n(Eu n − A n u) + ε n u − 1 −→ n→∞
∞. Nach Lemma
3.7 konvergieren die Summen ∑ L n u
j=1 K w(j) und ∑ L n u
j=1 jK w(j) absolut,
so dass man erhält:
1
n
⌊E
∑u nn⌋
i=⌊A n un⌋+1
⌊E
∑u nn⌋
j=i+1
Kov ( I w (i), I w (j) ) −→ n→∞
(E u − A u )C 1 w,ϕ.
3) Der dritte Term aus Gleichung (3.4.3) wird getrennt für A n v = E n u und
A n v ≠ E n u untersucht. Ist etwa v > u + 1, so ist A n v ≠ E n u, nach Definition
der Intervalle [A n i , E n i ) i ɛ {1,...,Dn} . In diesem Fall wird die dritte Summe in