Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

4.3. Straffheit 59
Beweis:
l∏
Wegen (y i − x i ) =
i=1
y 1 , . . . , y l ɛ R, ergibt sich:
∑
(−1) |D|
D ɛ P({1,...,l})
∏
k ɛ D c y k ·
∏
k ɛ D
x k für alle x 1 , . . . , x l ,
I w (i; p) =
=
=
=
l∏
j=1
(
)
1 [0,pwj ](X i+j−1 ) − 1 [0,pwj −1](X i+j−1 )
∑
D ɛ P({1,...,l})
∑
D ɛ P({1,...,l})
∑
D ɛ P({1,...,l})
(−1) |D| ∏
1 [0,pwj ](X i+j−1 ) ∏
j ɛ D c j ɛ D
l∏
(−1) |D| 1 [0,u w
D (p) j ](X i+j−1 )
j=1
(−1) |D| 1 [0,u w
D (p)]
1 [0,pwj −1](X i+j−1 )
((X i , . . . , X i+l−1 ) T )
. ✷
Damit kann der zentrierte empirische Musterprozess dargestellt werden als:
Z n (p; s) =
∑
D ɛ P({1,...,l})
V n( u; s ) = √ 1
⌊ns⌋
∑
n
i=1
(
(−1) |D| V n( u w D(p); s )
mit
( )
Xi
( ) )
1 [0,u] . − P (X 1,...,X l ) T [0, u] .
X i+l−1
Ausgehend von dieser Darstellung lässt sich nun die Straffheit von (Z n ) n ɛN zeigen:
Satz 4.8
Sei die Folge X ϕ-mischend mit ∑ ∞
n=1 n√ ϕ(n) < ∞. Dann ist der zentrierte
empirische Musterprozess (Z n ) n ɛN straff.
Beweis:
Man betrachtet für alle i ɛ {1, . . . , l} und j ɛ {1, . . . , n} die Beobachtungen Y j
i ,
gegeben durch Y j
i
: = X i+j−1 , so dass folgendes Schema aus n l-dimensionalen
Beobachtungsvektoren entsteht:
( ) ( )
X1
Xn
Y 1 = . , . . . , Y n = . .
X l X n+l−1
Sei D ⊂ {1, . . . , l} fest. Im Folgenden werden die Voraussetzungen H 1 bis H 4 aus
Balacheff und Dupont [9] nachgeprüft, um Theorem 5 auf die Folge V n anwenden
zu können.