Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

20 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeichenketten
Ist n ≥ N 1 := exp ( s Mε
ξ 2 Θ ∗) und somit 2ε log n
Θ ∗
≥ 2s M ξ 2 , so erhält man:
l n E γ (n) s ≥ 2(1 − 2ε) log n
Θ ∗ = t log n.
Sei n ≥ N 1 und ω ɛ {W (γ (n) ) ≥ d}, das heißt für alle k ɛ {1, . . . , d} existieren
paarweise verschiedene (π k X , πk Y ) ɛ {0, . . . , n l n
} 2 mit
L ln ( (Xπ
k
X l n+1(ω), Y π k
Y l n+1(ω) ) , . . . , ( X (π k
X +1)l n
(ω), Y (π k
Y +1)l n
(ω) )) = γ (n) .
Für M n
(d) (ω) ergibt dies:
{
∑ ln
M n
(d) (ω) ≥ min s ( X π k
X l n+r(ω), Y ) ∣ }
π k
Y l n+r(ω) ∣ k ɛ {1, . . . , d}
r=1
= l n E γ (n) s
≥ t log n.
Daher ist {W (γ (n) ) ≥ d} ⊂ { M n
(d)
P ( M n (d) < t log n )
≤ P ( W (γ (n) ) ≤ d − 1 )
≤ (l n + 1) ξ+1
n
(
4e d (l n + 1) ξ′
(e − 1)n
≥ t log n } . Aus Gleichung (2.2.1) folgt:
exp ( l n H(γ (n) |P (X,Y ) ) )
+ exp ( l n H(γ (n)
X |P X ) ) + exp ( l n H(γ (n)
Y |P Y ) )) .
Wegen der Konvergenz γ (n) −→ n→∞
α ∗ und der Stetigkeit der Entropie gibt es N 2 ɛ N,
so dass H(γ(n) |P (X,Y ) )
H(α ∗ |P (X,Y ) )
n ≥ N 2 und somit:
P ( M n (d) < t log n )
≤ (l n + 1) ξ+1
n
≤ 1 + ε, H(γ(n) X |P X )
H(α ∗ X |P X )
(
4e d (l n + 1) ξ′
(e − 1)n
≤ 1 + ε und H(γ(n) Y |P Y )
H(α ∗ Y |P Y )
exp ( (1 + ε)l n H(α ∗ |P (X,Y ) ) )
≤ 1 + ε für alle
+ exp ( (1 + ε)l n H(α ∗ X|P X ) ) + exp ( (1 + ε)l n H(α ∗ Y |P Y ) )) .
Sei N 3 ɛ N so groß, dass für alle n ≥ N 3 gilt: 4ed (l n+1) ξ′
≤ n ε2 und damit wegen
e−1
l n := ⌈ (1−ε) log n 2
H(α ∗ |P )⌉
auch:
(X,Y )
4e d (l n + 1) ξ′
(e − 1)n
exp ( (1 + ε)l n H(α ∗ |P (X,Y ) ) ) (
)
1
≤ exp
2 (1 + ε)l nH(α ∗ |P (X,Y ) ) .