Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

58 Kapitel 4. Der empirische Musterprozess
wobei die Konstanten C ϕ im Fall unabhängiger X
p j ,p r
i durch Lemma 4.4 explizit
gegeben sind. Ist σ0 2 = 0, so ist nichts zu zeigen. Sei also im Folgenden σ0 2 > 0
und n 0 ɛ N so groß, dass σn 2 ≥ 1 2 σ2 0 für alle n ≥ n 0 . Mit a n,k := √ 1
nσn
gilt für alle
n ≥ n 0 :
1) ∑ n
k=1 a2 n,k = 1
σ 2 n
ist beschränkt.
2) Wegen σ n −→ n→∞
σ 0 gilt: max 1≤k≤n |a n,k | = √ 1
nσn
−→ n→∞
0.
3) Die Folge (ξ i ) i ɛN ist gleichgradig integrierbar, da |ξ i | ≤ ∑ d
j=1 |α j| für alle i ɛ N.
4) Nach Definition ist Var ( ∑ n
k=1 a )
n,kξ k =
1
Var ( ∑
1 n √n
σn
2 k=1 ξ k)
= 1.
Damit sind die Voraussetzungen von Peligrad und Utev [65, Theorem 2.2] erfüllt.
Es folgt die Konvergenz:
1 1 √n
σ n
n∑
ξ k =
k=1
n∑
a n,k ξ k
k=1
D
−→ N (0, 1).
Wegen σ 2 n −→ n→∞
σ 2 0 = α T Σα mit Σ := ( (s j ∧ s r )C ϕ p j ,p r )j,r=1,...,d ɛ Rd×d ergibt sich:
α T Z n = 1 √ n
n∑
k=1
ξ k
D
−→ N (0, σ 2 0) = α T N (0, Σ T Σ).
Mit Theorem 7.7 aus Billingsley [17] folgt die Behauptung.
✷
4.3 Straffheit
Folgende technische Proposition liefert eine Summendarstellung für I w (i; p), die
Ausgangspunkt für weitere Folgerungen ist.
Proposition 4.7
Ist p ɛ ∆, so ergibt sich für das Ereignis, dass das Wort w ab Position i in ˜X(p)
vorkommt:
∑
)
I w (i; p) = (−1) |D| 1 [0,u w
D (p)]
((X i , . . . , X i+l−1 ) T ,
D ɛ P({1,...,l})
wobei die stetige Abbildung u w D : ∆ → [0, 1]l gegeben ist durch:
für alle k ɛ {1, . . . , l}.
(
u
w
D (p) ) k := {
pwk , falls k ɛ {1, . . . , l} \ D
p wk −1, falls k ɛ D,