Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

40 Kapitel 3. Scan-Statistiken mit variabler Fenstergröße
mit C 1 ɛ R + folgt. Dies ist aber ein Widerspruch, da die Indexfolge (j n ) n ɛN nicht
beschränkt sein kann.
Ist also C 2 ɛ R + so dass i √ ϕ i ≤ C 2 , für alle i ɛ N, so ergibt sich die Behauptung
aus
∞∑ ∞∑
iϕ i = i √ √ ∑ ∞
√
ϕ i ϕi ≤ C 2 ϕi < ∞.
✷
i=1
i=1
i=1
Mit folgender Definition wird im Weiteren die sogenannte ” Überlappung“ zweier
Wörter beziehungsweise die ”
Selbstüberlappung“ innerhalb eines Wortes beschrieben.
Die verwendeten Bezeichnungen sind in der Literatur gebräuchlich,
vergleiche etwa Waterman [94, Abschnitt 12.1].
Definition 3.6
Seien j, l, m ɛ N und w ɛ A l , v ɛ A m Wörter der Länge l beziehungsweise m über
dem Alphabet A. Sei R w (j) der Rest des Wortes w ab dem Zeichen j + 1, das
heißt:
{
wj+1 . . . w
R w (j) :=
l , falls j < l,
das leere Wort, sonst.
Das Overlap Bit β w,v : {0, . . . , l} → {0, 1} wird definiert durch:
β w,v (j) := 1 {wj+1 =v 1 ,...,w M =v M−j }, M = min{l, m + j}.
Zur Abkürzung sei β w := β w,w der Self Overlap.
Damit lassen sich nun die Abhängigkeiten innerhalb der Zeichenfolge (X i ) i ɛN
untersuchen:
Lemma 3.7
Mit den Voraussetzungen aus Abschnitt 3.1 konvergieren unabhängig von i ɛ N
folgende Summen absolut:
(i) ∑ ∞
j=1 Kov( I w (i), I w (i + j) ) = C 1 w,ϕ
(ii) ∑ ∞
j=1 j Kov( I w (i), I w (i + j) ) = C 2 w,ϕ
Beweis:
(i) folgt aus (ii).