Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

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maximale Scan-Statistik zu approximieren. Im Fall r n ↘ 0 erhält man lediglich
die Konvergenz der endlichdimensionalen Randverteilungen.
Im vierten Kapitel soll eine neue Sichtweise auf die Mustersuche eingenommen
werden: Wie verändert sich der Prozess, der die Anzahl des Vorkommens eines
Musters beschreibt, mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Alphabet?
Diese Fragestellung wurde 2004 von Aki [1] für eine Zeichenkette, die von einer
unabhängigen Zufallsfolge auf einem binären Alphabet erzeugt wird, untersucht.
Zum Beweis der Konvergenz des dort konstruierten Musterprozesses mit einem
Parameter gegen einen Gauß-Prozess wurden analoge Methoden, wie für den
Nachweis der Konvergenz der empirischen Verteilungsfunktion in Billingsley [17,
Abschnitt 22] verwendet.
Dieses Ergebnis wird in der vorliegenden Arbeit in mehrere Richtungen verallgemeinert:
So wird hier die zu durchsuchende Zeichenkette von einer ϕ-mischenden
Folge von Zufallsvariablen erzeugt. Des Weiteren wird ein beliebiges endliches
Alphabet mit ξ Zeichen betrachtet, so dass der Musterprozess von ξ-1 Parametern,
die die Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem Alphabet angeben, abhängt.
Außerdem wird ein zusätzlicher ”
Zeitparameter“ eingeführt, der die Position innerhalb
der Zeichenkette X 1 , . . . , X n angibt.
Mithilfe eines Ergebnisses von Balacheff und Dupont [9] wird gezeigt, dass der
empirische Musterprozess konvergiert und dass der Grenzprozess stetig von der
Verteilung der Zeichen und dem Zeitparameter abhängt. Hierzu wird das Problem
im Kontext der Theorie der empirischen Prozesse betrachtet. Da die Wahrscheinlichkeitsverteilung
auf dem Alphabet in der Praxis zumeist aus den Beobachtungen
geschätzt wird, rechtfertigt die bewiesene Stetigkeit die Annahme, dass eine
hinreichend gute Schätzung der Zeichenwahrscheinlichkeiten eine gute Approximation
des Musterprozesses ergibt. Konkrete Fehlerabschätzungen erhöhen den
praktischen Nutzen der Ergebnisse.
Um das Erzeugen der zufälligen Zeichenkette in einem möglichst allgemeinen
Modell geht es im fünften Kapitel. Das schon 1966 von Baum und Petrie in [14]
untersuchte Hidden-Markov“-Modell wird in der Praxis auch heute noch verwendet,
da es viele konkrete Anpassungen des Modells an praktische Fragestellungen
”
und effiziente Methoden zur Bestimmung oder Schätzung der Parameter gibt.
Vallée [92] lieferte 2001 mit den Dynamischen Quellen“ einen Ansatz, der durch
”
die Theorie der Dynamischen Systeme motiviert ist. Beiden Modellen ist gemein,
dass die Zeichenkette durch einen verborgenen“ Prozess erzeugt wird, dessen Zustand
nicht direkt beobachtet werden kann. Dieser wird in Baum und Petrie [14]
”
durch eine Markov-Kette und in Vallée [92] durch eine deterministische Iteration
mit zufälligem Startwert gegeben. Eine nicht notwendigerweise deterministische
Abbildung vom Zustandsraum in den Raum der Beobachtungen bestimmt die
emittierten“ Zeichen, das heißt den sichtbaren Prozess, der nach den Mustern
”
durchsucht wird. Hidden-Markov-Modelle und Dynamische Quellen werden hier