Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

26 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeichenketten
können. Um die Abhängigkeiten zu kontrollieren, gibt es im Wesentlichen zwei
Ansätze: Den Kopplungsansatz, wie er beispielsweise in dem Standardwerk von
Barbour, Holst und Janson [12] verfolgt wird, und den lokalen Ansatz, der hier
verwendet werden soll. Für eine tiefer gehende Behandlung dieser beiden Ansätze
siehe beispielsweise Barbour [11, Abschnitt 2].
Hier wird nun ein Spezialfall des lokalen Ansatzes, der im Weiteren verwendet
wird, zitiert. Besondere Bedeutung kommt beim lokalen Ansatz den sogenannten
Nachbarschaftsmengen zu, die die abhängigen Zufallsvariablen zusammenfassen:
Satz 2.6 (Stein–Chen-Methode)
Gegeben sei eine endliche Indexmenge I und eine Familie von Bernoulli-verteilten
Zufallsvariablen (I α ) α ɛ I . Des Weiteren existiere für alle α ɛ I eine ”
Nachbarschaftsmenge“
B α ⊂ I, so dass α ɛ B α ist und I α und I β für alle β ɛ I α c unabhängig
sind. Ist (P α ) α ɛ I ein Poisson-Prozess auf I mit Intensitätsmaß ν ɛ M(I),
ν(B) := ∑ α ɛ B E I α für alle B ⊂ I, so gilt:
d TV
(
(Iα ) α ɛ I , (P α ) α ɛ I
)
≤ 4(b1 + b 2 )
mit
b 1 := ∑ α ɛ I
b 2 := ∑ α ɛ I
∑
E I α E I β und
β ɛ I α
∑
E I α I β .
(2.3.2)
β ɛ I α\{α}
Beweis:
Die Behauptung folgt unmittelbar aus Arratia, Goldstein und Gordon [3, Theorem
2] wegen der Unabhängigkeit von I α und I β , falls β ɛ I c α ist.
✷
Bemerkung:
Die Bedeutung der Konstanten wird in dem vielzitierten Artikel von Arratia,
Goldstein und Gordon [3, Abschnitt 2] wie folgt erklärt:
1) b 1 misst die Größe der Nachbarschaftsmengen B α .
2) b 2 misst die Korrelation der Bernoulli-Zufallsvariablen innerhalb einer Nachbarschaftsmenge.
3) In Arratia, Goldstein und Gordon [3] wird nicht gefordert, dass I α und I β
für alle β ɛ I c
α unabhängig sind. Statt dessen wird eine weitere Konstante
b 3 eingeführt, die die schwache Abhängigkeit“ von I ” α und (I β ) β ɛ Iα
c misst.
Dies wird hier nicht weiter ausgeführt, da in der folgenden Anwendung B α so
gewählt werden kann, dass die Unabhängigkeit gegeben ist.