Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

64 Kapitel 4. Der empirische Musterprozess
Zahlen und Proposition 4.10 gilt:
Var ( I w (1; q) − I w (1; p) )
( ∑
= E (−1)
≤
ξ∏
D ɛ P
k=2
2 |L k| ∑ D ɛ P
ξP
j=2
|D j |(
Π(1; D; q) − λ
D
q − Π(1; D; p) + λ D p
E ( Π(1; D; q) − λ D q
≤ 2 2 P ξ
k=2 |L k| (2 l − 1)‖q − p‖.
Nach Definition von C 1 ist das die Behauptung.
− Π(1; D; p) + λ D p
) 2
) ) 2
✷
Damit lässt sich nun die Differenz zweier Funktionswerte durch den Abstand der
betrachteten Punkte abschätzen. Dabei wird zunächst noch vorausgesetzt, dass
der Abstand der Punkte nicht zu klein wird. Auf diese Bedingung wird später in
Satz 4.14 eingegangen.
Lemma 4.12
Seien n ɛ N und q, p ɛ ∆ so, dass ‖q − p‖ ≥ 1 . Dann gilt:
n
E ( Z n (q) − Z n (p) ) 4
≤ C(l)(C1 + 1)C 1 ‖q − p‖ 2 ,
wobei C : N → N definiert ist als C(l) := 8 l 2 (l + 1) 2 (2l + 1) 2 und somit nur von
der Wortlänge l abhängt. Insbesondere gilt für γ > 0:
P (∣ ∣ Zn (q) − Z n (p) ∣ ∣ ≥ γ
)
≤
C(l)(C 1 + 1)C 1
γ 4 ‖q − p‖ 2 .
Beweis:
Die Folge ξ i := I w (i; q) − πq w − I w (i; p) + πp w ist (l-1)-abhängig, insbesondere ϕ-
mischend, mit ∑ ∞
k=0 (k + 1)2 ϕ(k) 1 2 ≤ ∑ l
k=1 k2 = 1 l(l + 1)(2l + 1). Mit Billingsley
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[17, Lemma 22.1] und Lemma 4.11 ergibt sich:
E ( Z n (q) − Z n (p) ) ( )
4 1 ( n∑ ) 4
=
n E ξ 2 i
i=1
( (
≤ 288 E(ξ
2
1 ) ) 2 1
) ( ∑ ∞
+
n E(ξ2 1) (k + 1) 2 ϕ(k) 1 2
k=0
≤ 8 l 2 (l + 1) 2 (2l + 1) 2 (
C 2 1‖q − p‖ 2 + C 1
n ‖q − p‖ )
≤ 8 l 2 (l + 1) 2 (2l + 1) 2 (C 1 + 1)C 1 ‖q − p‖ 2 ,
) 2
wobei die letzte Ungleichung aus der Voraussetzung 1 n
≤ ‖q − p‖ folgt. ✷