Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

80 Kapitel 5. Das ”
Hidden ϕ-/ψ-Mixing“ Modell
2) Da somit jede irreduzible aperiodische und homogene Markov-Kette mit endlichem
Zustandsraum ψ-mischend mit einer Exponentialfunktion ψ(n) = C 0 τ n ,
n ɛ N ist, lassen sich die Ergebnisse des vorangegangenen Abschnitts unmittelbar
auf Hidden Markov Modelle übertragen. Zur kanonischen Einbettung
einer Markov-Kette mit endlichem Zustandsraum in einen Markovprozess mit
nicht diskretem Zustandsraum, vergleiche etwa Abschnitt 5.5, Example 1 in
Doob [37].
Weiterhin sei im Folgenden Y die emittierte Zeichenfolge und erfülle die Voraussetzungen
der bedingten Unabhängigkeit, vergleiche Seite 70.
Um die Konvergenz von N n zu untersuchen, wird zunächst Proposition 5.2 verfeinert
und die Wahrscheinlichkeit des Auftretens einzelner Wörter genauer betrachtet:
Proposition 5.5
Seien i, s, k, l, n ɛ N mit i + k + s ≤ n, sowie v ɛ A k und w ɛ A l . Dann konvergiert:
a) die Wahrscheinlichkeit, dass v ab Position i in Y vorkommt:
E ( I v (i) ) −→
i→∞
π v ,
b) die Wahrscheinlichkeit, dass v ab Position i und w ab Position i + k + s in Y
vorkommt:
E ( I v (i)I w (i + k + s) ) −→
i→∞
πs+1.
v,w
Die Grenzwerte sind dabei durch die stationären Wahrscheinlichkeiten“ gegeben:
”
π v :=
∑
k∏
π u1 λ v1 ,u 1
γ ui−1 ,u i
λ vi ,u i
und
Beweis:
u 1 ,...,u l ɛ X
π v,w
s
:= ∑
t 1 ,...,t k ɛ X
u 1 ,...,u l ɛ X
π t1 λ v1 ,t 1
i=2
k∏
γ tq−1 ,t q
λ vq,tq
q=2
γ (s)
t k ,u 1
λ w1 ,u 1
l∏
γ uq−1 ,u q
λ wq,uq .
a) Aus der Bemerkung zur Definition der bedingten Unabhängigkeit auf Seite 71,
ergibt sich für alle j ɛ N:
E(I v (j)) =
∑
u 1 ,...,u l ɛ X
( l∏
i=1
= ∑
( l∏
u 1 ,...,u l ɛ X i=1
= ∑ ( ∑
u 1 ,...,u l ɛ X
u 0 ɛ X
q=2
γ vi ,u i
)P (X j · · · X j+l−1 = u 1 · · · u l )
γ vi ,u i
)( ∑
u 0 ɛ X
)
γ X u 0
γ u (j−1)
0 ,u 1
λ v1 ,u 1
γ X u 0
γ (j−1)
u 0 ,u 1
)
l∏
γ ui−1 ,u i
i=2
l∏
λ vi ,u i
γ ui−1 ,u i
.
i=2