Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.1. Voraussetzungen und Definitionen 11
2.1 Voraussetzungen und Definitionen
Betrachtet werden unabhängig identisch verteilte Zeichenketten X = (X i ) i ɛN und
Y = (Y j ) j ɛN über dem endlichen Alphabet A = {1, . . . , ξ}. Zur Abkürzung sei
X identisch X i und Y identisch Y i verteilt, i ɛ N.
Eine der fruchtbarsten Methoden beim Sequence Matching ist die Large-
Deviation-Theorie, in der das Grenzwertverhalten von Wahrscheinlichkeiten
seltener Ereignisse durch exponentielle Schranken abgeschätzt wird. Für eine
Einführung sowie eine Definition des sogenannten ”
Large-Deviation-Prinzips“
und weitere Resultate gibt es umfangreiche Literatur, wie etwa Dembo und Zeitouni
[35], Deuschel und Stroock [36], Bucklew [22] oder Varadhan [93], so dass
im Folgenden nur die benötigten Ergebnisse zitiert werden.
Ein in der Large-Deviation-Theorie wichtiger Begriff ist die Entropie, wie sie
auch in der Informationstheorie verwendet wird. Weitere mathematische Grundlagen
sowie informationstheoretische Anwendungen finden sich zum Beispiel in
Roman [78], Shannon und Weaver [83], Csiszár und Körner [29] und Kullback [56].
Da die Definition und Verwendung insbesondere der relativen Entropie in der Literatur
nicht konsistent ist, werden die verwendeten Begriffe hier folgendermaßen
definiert:
Definition 2.1 (Entropie)
Sei A = {1, . . . , a} ein beliebiges endliches Alphabet. Für die Wahrscheinlichkeitsmaße
π = (π 1 , . . . , π a ) und β = (β 1 , . . . , β a ) auf A ist die Entropie von π
durch
a∑
( ) 1
H(π) := π k log
π k
k=1
und die relative Entropie von π bezüglich β durch
definiert.
H(π|β) :=
a∑
k=1
( )
πk
π k log
β k
Die Scoring Funktion s : A×A → R sei symmetrisch, nehme mit positiver Wahrscheinlichkeit
positive Werte an und habe negativen Erwartungswert bezüglich
P (X,Y ) , das heißt es gelte:
s(b, c) = s(c, b), P ( s(X, Y ) > 0 ) > 0 und E ( s(X, Y ) ) < 0
für alle b, c ɛ A. Dem Vorzeichen von E ( s(X, Y ) ) kommt besondere Bedeutung
zu: Wie in Arratia und Waterman [8] gezeigt wird, verhält sich der maximale
Score für E ( s(X, Y ) ) < 0 asymptotisch logarithmisch und für E ( s(X, Y ) ) > 0
wächst der maximale Score linear. Dieses Verhalten wird in der Literatur als