Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.3. Poisson Approximation 29
Es entspricht jedoch ∑ a ɛ I 1 gerade W aus [34, Gleichung (2.3)]. Ferner
{Ma U >t n
(k) } t (k)
n
ist ∑ (i,j,l) ɛ A n
1 in den Bezeichnungen von [34] W . Die
{maxq ɛ {1,...,l} S (i,j,q) >t (k)
n } t (k)
n
Aussage ergibt sich daher aus der Zerlegung von {W y ≠ W y } in [34, Seite 2029].
✷
Der Beweis verläuft analog zum Beweis von Gleichung (5.40) in Hansen [50,
Abschnitt 5.5.6], wo die Aussage für Markov-Ketten statt für unabhängig Zeichen
und die Betrachtung von diagonals-within-a-strip statt ζ-verschobenen Blöcken
gezeigt wird.
Im folgenden Lemma wird die Prozessversion der Stein–Chen-Methode aus
Satz 2.6 auf ( )
I ∗U
i,j,ζ,k angewendet:
(i,j,ζ,k) ɛ I ∗
Lemma 2.8
Es seien ( )
I ∗U
i,j,ζ,k (i,j,ζ,k) ɛ I ∗
und ( )
I U i,j,ζ
(i,j,ζ) ɛ I
wie oben und die Poisson-Prozesse
(˜P ∗ (a,k) ) (a,k) ɛ I ∗ und (˜P a ) a ɛ I durch die Intensitätsmaße ˜Q ∗ und ˜Q wie folgt gegeben:
˜Q ∗ (A ∗ ) := ∑ E I ∗U
a , für alle A ∗ ⊂ I ∗ und
a ɛ A ∗
˜Q(A) := ∑ a ɛ A
E I U a , für alle A ⊂ I.
Dann gilt
d TV
((
I
∗U
i,j,ζ,k
)(i,j,ζ,k) ɛ I ∗ , (˜P ∗ (a,k)) (a,k) ɛ I ∗)
−→
n→∞
d TV
((
I
U
i,j,ζ
)(i,j,ζ) ɛ I , (˜P a ) a ɛ I
)
−→
n→∞
0.
0 und
Beweis:
Um Satz 2.6 anwenden zu können, müssen zunächst die Nachbarschaftsmengen
definiert werden. Sei also (i, j, ζ, k) ɛ I ∗ . Dann wählt man B (i,j,ζ) wie in Dembo,
Karlin und Zeitouni [34] und B(i,j,ζ,k) ∗ in Anlehnung an Arratia, Goldstein und
Gordon [4, Abschnitt 3.1]:
B (i,j,ζ) := {(i ′ , j ′ , ζ ′ ) | i = i ′ oder j = j ′ }
:= B (i,j,ζ) × {1, . . . , d}.
B ∗ (i,j,ζ,k)
Sei im Folgenden U : = Uδ
α∗ : = {α ɛ M(A 2 ) | d TV (α, α ∗ ) < δ} die δ-Umgebung
von α ∗ für ein noch zu wählendes δ > 0 und seien b ∗ 1 und b ∗ 2 die Konstanten
aus Gleichung (2.3.2) bezüglich ( )
I ∗U
beziehungsweise b 1 und b 2 die
Konstanten für ( )
I U i,j,ζ
und b 1 −→ n→∞
0, b 2 −→ n→∞
0.
i,j,ζ,k
(i,j,ζ,k) ɛ I ∗
(i,j,ζ) ɛ I . Nach Satz 2.6 ist zu zeigen, dass b∗ 1 −→ n→∞
0, b ∗ 2 −→ n→∞
0