Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

12 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeichenketten
Phasenübergang bezeichnet. Bei positivem erwartetem Score werden durch das
lokale Sequence Matching also nur vernachlässigbar viele Zeichen am Anfang und
am Ende weggelassen. Weil es in der biologischen Anwendung in der Regel um das
Auffinden von Ähnlichkeiten durch die Identifikation von Segmenten mit großem
Score geht, wird zumeist eine Scoring-Funktion mit negativer Erwartung gewählt.
Daher wird in diesem Kapitel Sequence Matching unter dieser Voraussetzung
untersucht.
Eine Zusammenstellung einiger Ergebnisse, die den Phasenübergang zwischen
logarithmischem und linearem Wachstum zum Thema haben und die dieselbe
Notation wie hier verwenden, findet man beispielsweise in Lauer [57, Kapitel 5].
Aus den Forderungen an s ergibt sich mit einfachen analytischen Methoden, dass
genau ein Θ ∗ > 0 existiert, so dass:
E ( e Θ∗ s(X,Y ) ) = 1.
Es sei α ∗ ɛ M(A 2 ) das Maß mit Zähldichte e Θ∗s bezüglich P (X,Y ) , das heißt für
alle b, c ɛ A ist:
α ∗ b,c := eΘ∗ s(b,c) P ( (X, Y ) = (b, c) ) .
Es gelte weiterhin
H(α ∗ | P X × P Y ) > 2 max { H(α ∗ X|P X ), H(α ∗ Y |P Y ) } ,
wobei αX ∗ := α∗ (·, A) die Randverteilung von α ∗ bezüglich der ersten Komponente
und αY ∗ analog die Randverteilung bezüglich der zweiten Komponente bezeichne.
Betrachtet man, wie in der Literatur üblich, den maximalen Score beim Vergleich
von (X i ) 1≤i≤n mit (Y j ) 1≤j≤n :
M (1)
n = M n := max
l ɛ {0,...,n}
i,j ɛ {0,...,n−l}
{ l∑
k=1
}
s(X i+k , Y j+k ) ,
so ergibt sich aus Dembo, Karlin und Zeitouni [33, Theorem 3] ein starkes
Gesetz großer Zahlen mit asymptotisch logarithmischem Wachstum, das heißt
M n
−→ 2
.
log n n→∞ Θ ∗
Für die Definition des zweitgrößten Scores M n
(2) sollen nun die Zeichenpaare
(X i+k , Y j+k ) k=1,...,l , die im Alignment des größten Scores benutzt wurden, ausgeschlossen
werden. Hierfür wird eine Methode verwendet, die sich sowohl in
der wahrscheinlichkeitstheoretischen Analyse der Maxima als auch in der Implementierung
von Algorithmen zur Bestimmung des maximalen Scores bei der
sogenannten Dynamischen Programmierung“ bewährt hat. Einige der folgenden
Definitionen sowie weitere interessante Aussagen findet man beispielsweise
”
in Waterman [94, Kapitel 9] oder Hansen [50, Kapitel 2 und Abschnitt 5.2].