Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

16 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeichenketten
in X bezie-
Die Anzahl der Blöcke der Länge l mit empirischer Verteilung γ X
hungsweise γ Y in Y ist gegeben durch:
n
l −1
∑
M := M(γ X ) := 1 {L l (X il+1···X (i+1)l )=γ X } beziehungsweise
i=0
n
l −1
∑
N := M(γ Y ) := 1 {L l (Y jl+1···Y (j+1)l )=γ Y }.
j=0
Für den Fall M ≥ 1 und N ≥ 1 seien dies die Blöcke πX 1 , . . . , πM X
πY 1 , . . . , πN Y , das heißt, für alle i ɛ {1, . . . , M}, j ɛ {1, . . . , N} ist:
beziehungsweise
L l( X π i
X l+1 · · · X (π i
X +1)l)
= γX und L l( Y π
j
Y l+1 · · · Y (π j Y +1)l )
= γY .
Das Ereignis, dass der i-te Block in X und der j-te Block in Y gemeinsame empirische
Verteilung γ aufweisen, bezeichnet man für i ɛ {1, . . . , M}, j ɛ {1, . . . , N}
mit:
B i,j := B i,j (γ) := { L l( (X π i
X l+1, Y π
j
Y l+1), . . . , (X (π i X +1)l , Y (π
j
Y +1)l)) = γ } .
Für jeden Block X π i
X l+1 · · · X (π i
X +1)l beziehungsweise Y π
j
Y l+1 · · · Y (π j Y +1)l
stimmt die
empirische Verteilung mit γ X beziehungsweise γ Y überein. Somit hängt es nur von
der Reihenfolge der einzelnen Buchstaben innerhalb eines solchen Blockpaares ab,
ob (X π i
X l+1, Y π
j
l+1), . . . , (X (π i Y X +1)l , Y (π
j
Y +1)l)
gemeinsame empirische Verteilung γ
hat. Dies bedeutet, für alle i ɛ {1, . . . , M}, j ɛ {1, . . . , N} gilt:
P (B i,j ) = P (B 1,1 ) =: p
unabhängig von i, j. Definiert man die Anzahl von Block-Paaren mit empirischer
Verteilung γ als:
M∑ N∑
W := W (γ) := 1 Bi,j ,
so erhält man für den bedingten Erwartungswert von W bei gegebenem M und
N: E[W | M, N] = MNp und für alle i ɛ {1, . . . , M}, j ɛ {1, . . . , N}:
E ( exp(p − 1 Bi,j ) ) = e p( 1 − p + p e
i=1
j=1
)
= e p (1 − cp), mit c = e − 1
e
ɛ (0, 1).
Aufgrund der Unabhängigkeit der Zeichenketten sind B i,j und B i ′ ,j ′ für alle
i, i ′ ɛ {1, . . . , M}, j, j ′ ɛ {1, . . . , N} mit (i, j) ≠ (i ′ , j ′ ) unabhängig. Mit einfachen
analytischen Mitteln lässt sich zeigen, dass für alle a ɛ (0, 1), v > 0 gilt: