Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

2.3. Poisson Approximation 23
(Ω, A). Dann ist die Totalvariation von µ und ν gegeben durch:
∫ ∫
d TV (µ, ν) := sup ∣ fdµ − fdν∣
|f|≤1
∣
= 2 sup ∣ µ(A) − ν(A) ∣.
A ɛ A
Bemerkungen:
1. Die Totalvariation ist eine Metrik auf M 1 (Ω, A). Für Eigenschaften und Zusammenhänge
zu anderen Metriken auf M 1 (Ω, A) siehe etwa Daley und Vere-
Jones [31, Kapitel 9], Barbour, Holst und Janson [12, Appendix A.1] oder
Reiss [74, Abschnitt 1.3 und 3.2].
2. Die Totalvariation ist für die folgende Untersuchung geeignet, weil sie einerseits
stark genug ist, so dass zum Beispiel aus der Konvergenz d TV (µ n , µ) −→ n→∞
0 für
µ n , µ ɛ M 1 (Ω, A) auch die Konvergenz in Verteilung µ D
n −→ µ folgt. Andererseits
ist sie nicht zu stark, so dass sich in vielen Anwendungen Abschätzungen
der Totalvariation finden lassen.
Ist I eine Indexmenge und (I i ) i ɛ I eine Familie von Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen,
so wird durch Ĩ(B) := ∑ i ɛ B I i, B ⊂ I in eindeutiger Weise ein Punktprozess
mit Intensitätsmaß ν(B) = ∑ i ɛ B E I i, B ⊂ I definiert, vergleiche beispielsweise
Resnick [75, Abschnitt 3.1] oder Reiss [74, Abschnitt 1.1]. Der Punktprozess
Ĩ wird im Folgenden mit (I i ) i ɛ I identifiziert und auch mit (I i ) i ɛ I bezeichnet, da
auf eine Unterscheidung hier verzichtet werden kann.
Damit lässt sich nun das wichtigste Resultat dieses Kapitels formulieren. Im folgenden
Satz wird die Wahrscheinlichkeit, dass die größten Scores große Schwellenwerte
überschreiten, approximiert:
Satz 2.5
Seien d ɛ N und x (1) > · · · > x (d) > 0 gegeben. Definiert man die Schwellen
t (k)
n
:= log n2 + x (k)
, für alle k ɛ {1, . . . , d},
Θ ∗
so konvergiert die Anzahl der Überschreitungen dieser Schwellen
N (k)
n
:= ∑ 1 (k) {t n