Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

5.2. Der allgemeine Fall 73
würden eventuell wichtige Informationen nicht berücksichtigt. Dies wird insbesondere
in Abschnitt 5.3.1 deutlich, in dem mit dem Hidden Markov Modell ein
in der Praxis verwendetes Modell zur Zeichenerzeugung näher betrachtet wird.
5.2 Der allgemeine Fall
In diesem Abschnitt wird ein funktionaler Zentraler Grenzwertsatz für die Häufigkeit
des Auftretens mehrerer Muster im Hidden ϕ-/ψ-Mixing Modell bewiesen.
Ferner soll auch aufgezeigt werden, wie auf die in der Literatur oft verwendete
Voraussetzung, dass der verborgene Prozess X stationär ist, verzichtet werden
kann. Sei X im Folgenden also ϕ- beziehungsweise ψ-mischend aber nicht notwendig
stationär.
Sei m ɛ N. Gesucht werden m Muster w = (w 1 , . . . , w m ) T über dem Alphabet
A, wobei das Wort w i = w 1 · · · w li die Länge l i ɛ N habe. Sei N n =
(Nn, 1 . . . , Nn m ) T analog Abschnitt 3.1 mit Nn k : = ∑ n
( )
j=1 Iwk (j) − π w k , Iwk (j) : =
1 {Yj···Y j+lk −1=w 1···w lk } definiert.
Die folgende Proposition liefert das technische Fundament für die Abschätzung
der auftretenden Kovarianzen und die Konvergenz der Kovarianzfolge:
Proposition 5.2
Seien i, s, k, l, n ɛ N so, dass i + k + s ≤ n, sowie v ɛ A k und w ɛ A l gegeben. Ist X
ϕ-mischend mit ∑ ∞
i=1
ϕ(i) < ∞, so konvergiert die folgende Summe absolut, das
heißt, es existiert C v,w ɛ R, so dass gilt:
1 ∑n−k
n
i=1
n−k−i
∑
s=0
Kov ( I v (i), I w (i + k + s) ) −→ n→∞
C v,w .
Beweis:
Mit Lemma 5.1 erhält man für die Kovarianz:
∣ Kov
(
Iv (i), I w (i+k+s) )∣ ∣ =
∣ ∣P (Yi · · · Y i+k−1 =v, Y i+k+s · · · Y i+k+s+l−1 =w)
− P (Y i · · · Y i+k−1 =v)P (Y i+k+s · · · Y i+k+s+l−1 =w) ∣ ∣
Summation liefert:
1 ∑n−k
n
i=1
n−k−i
∑
s=0
≤ ϕ(s)P (Y i · · · Y i+k−1 =v)
≤ ϕ(s).
∣ Kov ( I v (i), I w (i + k + s) )∣ ∣ =
≤
n−k−1
∑
s=0
n∑
ϕ(s).
s=0
n − k − s
ϕ(s)
n