Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

70 Kapitel 5. Das ”
Hidden ϕ-/ψ-Mixing“ Modell
net werden. Der nicht sichtbare Prozess erzeugt die Beobachtungen mittels eines
Übergangskerns. Dieser Übergang zur sichtbaren Zeichenkette wird als ”
Emission“
bezeichnet.
5.1 Voraussetzungen und Definitionen
Sei X := (X i ) i ɛN eine ϕ- oder ψ-mischende, nicht notwendig stationäre Folge von
Zufallsvariablen mit Zustandsraum X , wobei X ein separabler metrischer Raum,
versehen mit der Borelschen σ-Algebra B, sei.
Die emittierten Beobachtungen Y := (Y i ) i ɛN sind eine Folge von Zufallsvariablen
mit Werten im endlichen Alphabet A = {1, . . . , ξ}, so dass Y i für alle i ɛ N nur
von X i und der Randomisierung abhängt. Formal bedeutet diese Bedingung, die
in der Definition des Hidden Markov Modells zentral ist:
a) Die Y i gegeben (X i ) i ɛN sind bedingt unabhängig, das heißt, dass für alle endlichen
Indexmengen K ⊂ N, k : = max K, alle x ɛ X k und alle messbaren
Mengen (A i ) i ɛ K ⊂ A |K| gilt:
( )
⋂
∣
P {Y i ɛ A i } ∣(X i ) i ɛ {1,...,k} = x = ∏ P ( {Y i ɛ A i } ∣ ∣(X i ) i ɛ {1,...,k} = x ) .
i ɛ M
i ɛ K
b) Für alle i, j ɛ N, i ≠ j ist Y i gegeben X i unabhängig von X j , das bedeutet für
alle messbaren Mengen A ⊂ A, B, C ɛ B gilt:
P (Y i ɛ A|X i ɛ B, X j ɛ C) = P (Y i ɛ A|X i ɛ B).
Weiterhin sei die bedingte Verteilung von Y i gegeben X i stationär, so dass die
Emissionswahrscheinlichkeiten
λ a,u := P (Y i = a|X i = u), für alle a ɛ A, u ɛ X ,
unabhängig von i ɛ N sind. Statt des durch Λ : X × P(A) → R + , Λ(u, A) : =
∑
a ɛ A λ a,u definierten Übergangskerns von (X , B) nach (A, P(A)) wird in der
Definition des Hidden Markov Modells in der Literatur manchmal eine deterministische
Abbildung verwendet. Auf diese zum Beispiel von Cover und Thomas
in [28, Abschnitt 4.4] und von Szpankowski in [90, Abschnitt 2.1] angegebene Variante
wird hier jedoch nicht weiter eingegangen, da sich beide Varianten durch
entsprechende Wahl des Zustandsraumes beziehungsweise des Übergangskerns
ineinander überführen lassen.