Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

42 Kapitel 3. Scan-Statistiken mit variabler Fenstergröße
Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit α ≠ 0 und 0 ≤ t 1 < · · · < t d ≤ 1.
Dies ist keine Einschränkung, da sich das Problem mit d − 1 Dimensionen und
˜α i := α i + α i+1 formulieren lässt, falls t i = t i+1 für ein i ɛ {1, . . . , d − 1}.
Definiert man die Koeffizienten βi n := ∑ d
j=1 α j1 {⌊tj n⌋+1,...,⌊(t j +r n)n⌋}(i), so lässt sich
α T X n schreiben als:
α T X n =
=
=
=
d∑
α j D n (t j )
j=1
d∑
j=1
n∑
i=1
n∑
i=1
⌊(t j +r
∑ n)n⌋
α j
i=⌊t j n⌋+1
(
Iw (i) − π w)
d∑
α ( j 1 {⌊tj n⌋+1,...,⌊(t j +r n)n⌋}(i) I w (i) − π w)
j=1
β n i
(
Iw (i) − π w) .
a) Da die Koeffizienten β n i stückweise konstant sind und Sprungstellen nur an
den Intervallgrenzen {⌊t j n⌋ + 1, ⌊(t j + r n )n⌋ | j = 1, . . . , d} auftreten können,
werden die Intervalle (t j , t j + r n ] in D n disjunkte Intervalle (A n i , E n i ] i=1,...,D n
zerlegt: Ein solches Intervall kann nur an einem t k oder t k +r n beginnen beziehungsweise
enden. Daher gibt es, unabhängig von n, höchstens 2d Intervalle,
D n ≤ 2d. Es ergibt sich folgendes Bild:
✛
✛
t k
t k−1 +r n t k +r n t k+1 t k+2 t k+1 +r n
✲
✲
E n i−2 =An i−1 E n i−1 =An i E n i
A n i+1 E n i+1 =An i+2 E n i+2 =An i+3
Nach Definition gilt ∪ d j=1[t j , t j + r n ] = ∪ Dn
u=1[A n u, Eu] n und βn· ist konstant auf
{⌊A n un⌋ + 1, . . . , ⌊Eun⌋}, n 1 ≤ u ≤ D n . Definiert man für alle u ɛ {1, . . . , D n }
γ n u
:= βn i , falls i ɛ {⌊A n un⌋ + 1, . . . , ⌊Eun⌋}
n
d∑
=
j=1
α j 1 {⌊A n u n⌋+1,...,⌊E n u n⌋}⊂{⌊t j n⌋+1,...,⌊(t j +r n)n⌋},
als den Wert, den β n· auf {⌊An un⌋+1, . . . , ⌊E n un⌋} annimmt, so lässt sich α T X n