Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

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Kapitel 3
Scan-Statistiken mit variabler
Fenstergröße
In diesem Kapitel wird die Häufigkeit des Vorkommens eines gegebenen Musters
in einer zufälligen Zeichenfolge untersucht. Hierbei wird ein sogenanntes Scan-
Fenster auf die zu durchsuchende Zeichenkette gelegt und verschoben und gezählt,
wie oft das Muster innerhalb des Scan-Fensters, auftritt. Daraus leitet sich der
Name ”
Scan-Statistik“ ab. Die Position des Fensters wird als Zeitparameter interpretiert,
so dass man einen zeitabhängigen stochastischen Prozess erhält.
Die Literatur ist sehr umfangreich und vielfältig, siehe etwa die Bücher von Balakrishnan
und Koutras [10] oder Glaz und Balakrishnan [47], sowie die Artikel
von Pozdnyakov, Glaz, Kulldorff und Steele [69] oder Karlin und Chen [53], um
nur einige Beispiele zu nennen. Eine interessante Anwendung in der genetischen
Sequenzanalyse ist zum Beispiel in Leung, Choi, Xia und Chen [58] gegeben,
wo das Vorkommen von Clustern von Palindromen im Genom von Herpesviren
untersucht wird.
Hier wird die Abhängigkeit des Grenzprozesses vom asymptotischen Verhalten der
Fenstergröße betrachtet. Konvergiert die Fenstergröße gegen einen echt positiven
Wert, so erhält man einen stetigen Grenzprozess und die Scan-Statistik lässt sich
durch ein einfaches Funktional einer Brownschen Bewegung B approximieren.
Konvergiert die Fenstergröße gegen 0, so ist die Stetigkeit des Grenzprozesses
nicht mehr gegeben.
3.1 Voraussetzungen und Definitionen
Betrachtet wird eine Zeichenkette X : = (X i ) i ɛN über dem endlichen Alphabet
A : = {1, . . . , ξ}. Im Folgenden sei die Folge X
∑
stationär und ϕ-mischend mit
∞
√
n=1 ϕ(n) < ∞.
Gegeben sei ein Muster w = w 1 · · · w l ɛ A l der Länge l ɛ N. Es bezeichne I w (i) :=