Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

28 Kapitel 2. Vergleich zweier Zeichenketten
Es seien I := {0, . . . , m n −1} 2 ×{0, . . . , l n } und I ∗ := I×{1, . . . , d}. Für (i, j, ζ) ɛ I
und U ɛ M 1 (A 2 ) bezeichne
{ r+l−1 ∑ ∣
Mi,j,ζ U := max s(Xh, i Y j,ζ ∣∣
h ) 0 ≤ l ≤ c0 log n, 1 ≤ r ≤ l n − l, }
h=r
L l( (Xh, i Y j,ζ
h
) )
h=r,...,r+l−1 ɛ U
den maximalen Score mit empirischer Verteilung in U auf der Diagonalen des
Blocks (X i , Y j,ζ ). Definiert man für alle (i, j, ζ, k) ɛ I ∗ :
I ∗U
so kann ( )
I ∗U
i,j,ζ,k (i,j,ζ,k) ɛ I ∗
n }
i,j,ζ,k := {
1{M U
i,j,ζ >t (1)
1 {t
(k)
n
t(d n ) }
wie in Barbour und Månsson [13] oder Aldous [2] beschrieben, betrachtet werden.
Eine Formulierung, in der durchgängig Prozessversionen betrachtet werden, wäre
zwar wünschenswert, scheitert aber an der Abschätzung des Abstands zwischen
(J ∗ (a,k) ) e ɛ E n, k ɛ {1,...,d} und (I ∗U
(e,k) ) e ɛ I, k ɛ {1,...,d}. Weil beide auf verschiedenen Indexmengen
definiert sind, ist es nicht möglich, den Abstand mit der Totalvariationsmetrik
zu messen. Daher wird in der nächsten Proposition die Aussage für die
Schnitte (I × {k}), k ɛ {1, . . . , d} gezeigt.
Proposition 2.7
Seien (J ∗ (a,k) ) a ɛ E n, k ɛ {1,...,d} und (I ∗U
(e,k) ) e ɛ I, k ɛ {1,...,d} wie oben. Dann gilt für N n
(k) wie
in Satz 2.5 und Ñ n
(k) := ∑ q ɛ I I∗U , k ɛ {1, . . . , d}:
( (N
(1)
P
n
(q,k)
, . . . , N (d)
n
)
≠
(Ñ
(1)
n
, . . . , Ñ (d)
n
) ) −→
n→∞
0.
Beweis:
Die Behauptung wird auf den Beweis von Dembo, Karlin und Zeitouni [34, Seite
2027–2029] zurückgeführt. Es gilt:
( (N
(1)
P
n
( d⋃
= P
=
≤
, . . . , N (d)
n
k=1
{
N
(k)
n
(
d∑ {N
(k)
P
k=1
n
)
≠
(Ñ
(1)
n
≠ Ñ } )
n
(k)
≠ Ñ (k)
n
, . . . , Ñ (d)
n
k−1
} ⋂
∩
i=1
) )
{
N
(i)
n
= Ñ } )
n
(i)
(
d∑ ∑
P
1 ≠ ∑ )
{maxq ɛ {1,...,l} S (i,j,q) >t (k) 1
n } {M U .
a >t (k)
n }
(i,j,l) ɛ A n a ɛ I
k=1