Muster und Alignments in zufälligen Zeichenketten - Abteilung für ...

5.3. Anwendungen 83
Das folgende Korollar fasst die Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen. Es ist
als Verfeinerung zu Satz 5.4 anzusehen, in der die Markov-Eigenschaft des verborgenen
Prozesses ausgenutzt wird.
Korollar 5.7
Sei X eine irreduzible aperiodische und homogene Markov-Kette, und sei Y die
Folge der emittierten Beobachtungen. Sind die Wörter w 1 , . . . , w m ɛ A ∗ so, dass
die Matrix Σ : = (σ wp,w q
) p,q=1,...,m mit σ v,w wie in Lemma 5.6 positiv definit ist,
so konvergiert der in Satz 5.4 definierte Prozess Z n in Verteilung gegen eine m-
dimensionale Brownsche Bewegung mit Kovarianzmatrix Σ.
Beweis:
Die Behauptung folgt unmittelbar aus Satz 5.4 und Lemma 5.6.
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5.3.2 Dynamische Quellen
Probabilistische Dynamische Quellen wurden 2001 von Vallée im Artikel [92] eingeführt
(Erratum siehe Chazal, Maume-Deschamps und Vallée [24]). Dabei wird
ein zufälliger Startwert x ɛ (0, 1) gewählt, und iterativ eine sogenannte ”
Shift-
Abbildung“ T : (0, 1) → (0, 1) angewandt. Jedes Element der Folge x, T x, T 2 x, . . .
wird mithilfe einer ”
Encoding-Abbildung“ σ : (0, 1) → A auf ein Zeichen des
Alphabets abgebildet. Hierdurch entsteht die zu durchsuchende Zeichenkette
σ(x), σ(T x), σ(T 2 x), . . .
In weiteren Artikeln, wie etwa Bourdon und Vallée [20], wird das Vorkommen
von sehr allgemeinen Mustern, die durch Einschübe unterbrochen sein können, in
den so erzeugten Zeichenketten untersucht. Wie auch in Regnier et al. [72], [73]
oder Flajolet et al. [42], wo andere zeichenerzeugende Quellen behandelt werden,
werden die Muster durch Reguläre Ausdrücke beschrieben, die in entsprechende
Erzeugende Funktionen übersetzt werden.
Hier soll nun aufgezeigt werden, wie sich Dynamische Quellen in das Hidden ϕ-
/ψ-Mixing Modell einbetten lassen und somit für einfache Mustervektoren mit
Satz 5.4 ein allgemeiner Grenzwertsatz zur Verfügung steht.
Die folgende formale Definition von Dynamischen Quellen findet man zum Beispiel
in Abschnitt 3.1 in Bourdon und Vallée [20]:
Definition 5.8
Eine Dynamische Quelle S wird durch die folgenden vier Elemente definiert:
a) Ein endliches oder abzählbares Alphabet A
b) Eine ”
topologische Partition des Einheitsintervalls“ in Intervalle, das heißt:
Sei I a ⊂ I := (0, 1) für alle a ɛ A ein offenes Intervall, so dass I a ∩ I b = ∅ für
alle Zeichen a ≠ b und ∪ a ɛ A I a = I.